浙江省丽水市学院附中高三数学理测试题含解析

浙江省丽水市学院附中高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知上是单调增函数，则a的最大值是     A．0                B．1                C．2                 D．3 参考答案： D 2. 在等比数列中，则 ．3           ．          ．3或          ．或 参考答案： C 3. 既是偶函数又在区间上单调递减的函数是(     ) A.       B.       C.    D. 参考答案： B 4. 函数的图像如右图所示，为了得到这个函数的图像，只需将 的图像上的所有的点 （A）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 （B）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 （C）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 （D）向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 参考答案： A   5. 执行如上图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是(    )  A．(42，56]    B．(56，72]   C．(72，90]     D．(42，90) 参考答案： B 第一次循环：，第二次循环：，第三次循环：，第七次循环：第八次循环：，此时,不满足跳出循环，此时，则判断框内的取值范围是(56，72]，选B. 6. 三个数的大小关系为（    ）. (A)       (B) (C)        (D) 参考答案： D 略 7. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为 （    ） A． B．    C． D． 参考答案： C 略 8. 已知关于x的方程，则下列说法错误的是 A.当时，方程的解的个数为1个         B.当时，方程的解的个数为1个 C.当时，方程的解的个数为2个     D.当时，方程的解的个数为2个 参考答案： D 9. 宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（　　） A．36      B．42          C．48           D．54 参考答案： B   10. 已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点F，点A是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 两曲线有相同的焦点F，则. 又AF⊥x轴.不妨设点A在第一象限.可得A(c，2c). 代入可得， 整理化简可得：， 双曲线经过一三象限的渐近线方程为， 令，则：， 解得：，即. 故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为. 本题选择D选项.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为60°，则的最小值是________． 参考答案： 12. 已知命题p：m＜0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： ﹣2＜m＜0 【考点】复合命题的真假． 【分析】根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的范围，最后求它们的交集． 【解答】解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题， 若命题q是真命题，则?x∈R，x2+mx+1＞0横成立， 所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2， 又命题p：m＜0，也是真命题， 所以实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0， 故答案为：﹣2＜m＜0． 13. 展开式的常数项为        ．（用数字作答） 参考答案： －160 【详解】由，令得，所以展开式的常数项为. 考点：二项式定理. 14. 已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________. 参考答案： 64π 【分析】 正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积. 【详解】解析：过点作平面于点，记球心为. ∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为， ∴， ∴. ∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长， ∴，. 在中，， 即，解得， ∴外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题. 15. 右图是各条棱长均为的正四面体的三视图，则侧视图三角形的面积为   ▲     . 参考答案： 16. 若最小值为a，最大值为b，则_____． 参考答案： 【分析】 先求函数定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限。 【详解】y＝4﹣，定义域为[﹣1，3] 当x＝1时，y取最小值为2，当x＝3或﹣1时，y取最大值为4， 故a＝2，b＝4； ＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题． 17. 已知是定义域为的单调递减的奇函数，若，则的取值范围是_________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （00全国卷）（12分） 如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且= （I）证明：⊥BD；     （II）当的值为多少时，能使平面？请给出证明   参考答案： 解析：（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结   ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD 又∵  ， ∴ ， ∴ ， ∵ DO=OB， ∴ BD，                                      ——3分 但 AC⊥BD，AC∩=O， ∴ BD⊥平面 又 平面， ∴ BD                                      ——6分 （II）当时，能使⊥平面 证明一： ∵ ， ∴ BC=CD=， 又 ， 由此可推得BD= ∴ 三棱锥C- 是正三棱锥                     ——9分 设与相交于G ∵ ∥AC，且∶OC=2∶1， ∴ ∶GO=2∶1 又 是正三角形的BD边上的高和中线， ∴ 点G是正三角形的中心， ∴ CG⊥平面 即 ⊥平面                           ——12分 证明二： 由（I）知，BD⊥平面， ∵ 平面，∴ BD⊥                ——9分 当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD⊥的证法可得⊥ 又 BD∩=B， ∴⊥平面                             ——12分   19. 如图，在三棱锥中，底面，，为的中点， 为的中点，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求与平面成角的正弦值； （Ⅲ）设点在线段上，且，平面，求实数的值. 参考答案： （Ⅰ）证明：因为 底面，底面， 所以 ，                                         ……………… 1分 又因为 ， ， 所以 平面，                                  ……………… 2分 又因为 平面， 所以 .                                          ……………… 3分 因为 是中点， 所以 ， 又因为 ， 所以 平面.                                     ……………… 5分 （Ⅱ）解：在平面中，过点作 因为 平面， 所以 平面， 由 底面，得，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，                                                 则，，，，，. ……………… 6分 设平面的法向量为， 因为 ，， 由 得 令，得.      ……………… 8分 设与平面成角为， 因为 ， 所以 ， 即 .                                       ……………… 10分 （Ⅲ）解：因为 ，， 所以 ， 又因为 ， 所以 .                ……………… 12分 因为 平面，平面的法向量， 所以 ， 解得 .                                              ……………… 14分   略 20. （本小题满分12分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为． （1）求的值； （2）在△中，若，且，求． 参考答案： （1）∵ ．    ………………………4分来 而的最小正周期为，为正常数，∴，解之，得．      ………6分 （2）由（1）得． 若是三角形的内角，则，∴． 令，得，∴或， 解之，得或． 由已知，是△的内角，且， ∴，，  ∴．             …………………………10分 又由正弦定理，得．…………………………12分 21. （本小题满分10分）已知函数，且的解集为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求证：. 参考答案： （Ⅰ）因为， 所以等价于，…2分 由有解，得，且其解集为．   …4分 又的解集为，故．…（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又，…7分∴≥=9． …9分 (或展开运用基本不等式) ∴                                …．（10分） 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y－4=0，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，当α取何值时，取得最大值． 参考答案： 【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）===，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，C1的极坐标方程为， C2的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ=α（ρ＞0，） 设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2=2sinα， 所以===， 又，， 所以当，即时，取得最大值． 【点评】本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．