云南省大理市宾川县河沙坝中学高二数学理上学期期末试题含解析

云南省大理市宾川县河沙坝中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若对任意实数x，有（    ）           A．3                   B．6                        C．9                       D． 12 参考答案：  B 2. 已知数列{an}：a1=1，，则an=（　　） A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7 参考答案： A 【考点】数列递推式． 【分析】由已知数列递推式可得数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式得答案． 【解答】解：由， 得an+1+3=2（an+3）， ∵a1+3=4≠0， ∴数列{an+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列， 则， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题． 3. 定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=3，则不等式f（x）＜3ex的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞） 参考答案： C 【分析】构造函数g（x）=，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出x的范围． 【解答】解：设g（x）=， 则g'（x）=， ∵f（x）＞f′（x）， ∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减． ∵f（0）=3， ∴g（0）=f（0）=3， 则不等式等价于g（x）＜g（0）， ∵函数g（x）单调递减． ∴x＞0， ∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选：C． 4. 下列四个命题中，真命题的个数是    （　　） ①命题：“已知 ，“”是“”的充分不必要条件”； ②命题：“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件； ③命题：已知幂函数的图象经过点（2，），则f（4）的值等于； ④命题：若，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： C 【分析】 命题①单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a2+b2≥1”，从而判断命题的真假性； 命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断； 命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x＝4代入求值即可； 命题④构造函数f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性； 【详解】命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确； 命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确； 命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以幂函数为f（x）＝ ，所以f（4）＝，所以命题③正确； 命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0， ∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0， ∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确. 故选：C 【点睛】本题考查命题的真假判断，充分不必要条件，幂函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，知识综合性强，属于中档题． 5. 在平面直角坐标系中，二元一次不等式组 所表示的平面区域的面积为 A．               B．            C．             D． 参考答案： A 6. 判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1的相关指数R2为0.86，模型2的相关指数R2为0.68，模型3的相关指数R2为0.88，模型4的相关指数R2为0.66．其中拟合效果最好的模型是（　　） A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 参考答案： C 【考点】变量间的相关关系；独立性检验． 【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果． 【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1， 这个模型的拟合效果越好， 在所给的四个选项中0.88是相关指数最大的值， ∴拟合效果最好的模型是模型3． 故选C． 7. 从某高中随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：由上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的男生的体重大约为(　　) A．70.09  Kg       B．70.12  Kg        C．70.55 Kg    D．71.05 Kg 参考答案： B 略 8. 已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是(    ) A .21          B .20             C .19             D .  18 参考答案： B 9. 设直线与函数，的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（     ） A．1         B．        C．         D． 参考答案： D 由题不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小．即． 10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（　　） A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 参考答案： D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】△EFQ的面A1B1CD面积的，当P点变化时，会导致四面体体积的变化．由此求出四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关． 【解答】解：从图中可以分析出： △EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的， 而当P点变化时， 它到面A1B1CD的距离是变化的， 因此会导致四面体体积的变化． 故若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零）， 则四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题中，真命题的有________.（只填写真命题的序号） ①若则“”是“”成立的充分不必要条件； ②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为 ③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题； ④若命题：，，则：． 参考答案： ①③④ 略 12. 设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_______． 参考答案： 13. 某工厂有三个车间，现将7名工人全部分配到这三个车间，每个车间至多分3名，则不同的分配方法有______________种．（用数字作答） 参考答案： 1050 略 14. 已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是______. 参考答案： 略 15. 已知                      …… 根据以上等式，可猜想出的一般结论是____． 参考答案： 16. 正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】转化思想；空间位置关系与距离；球． 【分析】由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由正三棱锥A﹣BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心， 由线面垂直的性质可得AC⊥BD， 又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线， 可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD， 可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形， 故AB=AC=AD=2， 将正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体， 则外接球的直径为正方体的对角线， 即有2R=2，可得R=， 由球的表面积公式可得S=4πR2=12π． 故答案为：12π． 【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题． 17. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________． 参考答案： 10 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题10分）把下列方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： ⑴（为参数）；       ⑵ 参考答案：    即  ∴曲线是半径为4，中心在原点的圆。 ⑵原式化简为，，∴，即  ∴曲线是长轴在x轴上且为4，短轴为，中心在原点的椭圆。 19. （本小题12分） 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;   （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; 参考答案： 解:（1）因为,,, 所以,    即.…………………2分  当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆                    当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.                 ……………………………4分  (2) .当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,                                                ……………………………6分  要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=, 即,即,     且 , 要使,   需使,即, 所以,  即且,  即恒成立.                                                    ……………………………8分  所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.               综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.                                    ………………12分 20. 某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为，． ⑴ 求点 落在圆内的概率； ⑵ 求