安徽省合肥市肥西高刘中学2022年高二数学理期末试卷含解析

安徽省合肥市肥西高刘中学2022年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中,，△ABC的周长是18，则定点C的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵，， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆． 则，，， ∴顶点的轨迹方程为． 故选． 2. 设，则“”是“”的（　　）． A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 3. 在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的对边分别是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝ ，sin c ＝ sin b ，则∠ a ＝(　　)． a．30°    b．60°    c．120°    d．150° 参考答案： A 利用正弦定理，sin C ＝ sin B 可化为 ． 又∵ ， ∴ ， 即 a 2 ＝7 b 2 ， ． 在△ ABC 中， ，∴∠ A ＝30°. 4. 有这样一个有规律的步骤：对于数25，将组成它的数字和5分别取立方再求和为133，即23+53=133；对于133也做同样操作：13+33+33=55，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（　　） A．25 B．250 C．55 D．133 参考答案： D 【考点】F1：归纳推理． 【分析】第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2017次操作后得到的数． 【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133， ∴操作结果，以3为周期，循环出现， ∵2017=3×672+1， ∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同， ∴第2017次操作后得到的数是133， 故选：D． 5. 在中，，是斜边上的高，，则的长为(    ）                                                                                           A．          B．           C．           D． 参考答案： A 6. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表： 零件数（个） 10 20 30 加工时间（分钟） 21 30 39 现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为 A．84分钟 B．94分钟 C．102分钟 D．112分钟 参考答案： C 略 7. 已知，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是 A. [－1,+∞) B. [－1,0) C. [0,+∞)   D. [1,+∞) 参考答案： A 8. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=， 则下列结论中错误的是（　　） A．AC⊥BE B．EF∥面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果． 【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1， ∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值， 从而A，B，C正确． ∵点A、B到直线B1D1的距离不相等， ∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等， 故D错误． 故选：D．                                    【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，涉及到空间位置关系，属于基础题．． 　 9. 现抛掷两枚骰子，记事件为“朝上的2个数之和为偶数”，事件为“朝上的2个数均为偶数”，则（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： D 10. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)． A．k2＋1          C. B．(k＋1)2        D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 双曲线=1的渐近线方程是　　． 参考答案： y=±2x 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线标准方程为=1， 其渐近线方程是=0， 整理得y=±2x． 故答案为y=±2x． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题． 12. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是   ▲   ． 参考答案： 13. 在实数范围内，不等式|3x-1|+|3x+1|≤6的解集为___________。 参考答案： 14. 设，分别是椭圆的左、右焦点．若点在椭圆上，且，则=__________． 参考答案： 0  略 15. △ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为_____________。 参考答案： (y≠0); 16. 复数，则               。 参考答案： -1 17. 在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为               。 参考答案： 由可得且四边形ABCD是平行四边形，再由可知D在的角平分线上，且以及上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长（如图）是，因此，所以。该题由考查向量相等的概念和求摸以及几何意义，由考查向量的加法的几何意义，该题还考查正弦定理面积公式以及转化能力，是难题。   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，    ,． （I）求证：平面⊥平面； （II）若二面角为30°，设,试确定的值. 参考答案： （I）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．      ∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD． 又∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD，  ∴BQ⊥平面PAD．    ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分 另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，  ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．  ∵ PQ∩BQ=Q，  ∴AD⊥平面PBQ．  ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……9分 （II）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，． 设，则，，∵， ∴ ，    ∴ …………12分 在平面MBQ中，，， ∴ 平面MBQ法向量为．        ∵二面角M-BQ-C为30°，  ，∴ ． 略 19. 已知椭圆方程为的上顶点为，过作圆的两条切线，交椭圆与两点，记直线的斜率分别为。 (1)求证：； (2)求证：恒过一定点； (3)求面积的最大值。 参考答案： （2）恒过定点，设直线：， 同理得， 化简得恒过 (3) 当且仅当取等号。 20. （本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设、为双曲线的左、右焦点，若双曲线上一点满足，求的面积． 参考答案： （Ⅰ）设双曲线的方程为， 由已知，，所以， 又双曲线过点，所以，解得， 所求双曲线的方程为．    ……… 4分 （Ⅱ）由，所以，，设， 则，， 因为，所以，即， 又，所以，． 所以．      ……… 10分 21. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）利用数列的递推关系式求出数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，利用错位相减法求解数列的和，即可得到结果． 【详解】（Ⅰ）当时，，得， 当时， ，得， ∴数列是公比为的等比数列， ∴ ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：，又① ∴② 两式相减得： ， 故， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 22. （本题12分） 某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米。 （1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域； （2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值。   参考答案： 解：（1）由已知，其定义域是．-----------------------3分 ， ， ，其定义域是．-----------8分 （2）， -----------13分 当且仅当，即时，上述不等式等号成立， 此时，．    -------------------------------------15分 答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．-------16分