河南省郑州市东方作文学校2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析

河南省郑州市东方作文学校2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （多选题）某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（    ） A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为 B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为 C. 四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为 D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为 参考答案： ACD 【分析】 根据互斥事件的概率，分别求出选项对应事件的概率，逐项验证；对于选项，根据每个学生随机选择一家餐厅，则选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，即可求出期望，判断选项正确. 【详解】四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法， 选项，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为， 所以选项正确； 选项，四人去了同一餐厅就餐的概率为， 所以选项不正确； 选项，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为 ，所以选项正确； 选项，每个同学选择去第一餐厅的概率为， 所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布， ，所以选项正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查互斥事件概率、二项分布期望，应用排列组合、分步乘法原理求出基本事件个数是解题的关键，注意特殊分布的运用，属于中档题. 2. 100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽到6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品、以上四个事件中，随机事件的个数是(    ) A、3                      B、4                            C、2                            D、1 参考答案： C 3. 一组数据的方差为，将这组数据中的每个数据都扩大倍，所得一组新数据的方差为 （  ） A.         B.           C.         D. 参考答案： D 4. .已知对任意实数，有，且时，，则时（） A． B． C． D． 参考答案： B 略 5. 有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③若“A∪B＝B，则AB”的逆否命题．其中的真命题有(　　)个。 A．0　　      　B．1            C．2           D．3 参考答案： C 6. 直线3x+4y﹣13=0与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题． 【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d=r，故直线与圆相切． 【解答】解：由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r=1， 所以圆心到直线3x+4y﹣13=0的距离d==1=r， 则直线与圆的位置关系为相切． 故选C 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离． 7. 已知函数 定义域为D，若 都是某一三角形的三边长，则称 为定义在D上的“保三角形函数”，以下说法正确的个数有 ① (x∈R)不是R上的“保三角形函数” ②若定义在R上的函数的值域为 ，则f(x)一定是R上的“保三角形函 数” ③ 是其定义域上的“保三角形函数” ④当  时，函数 一定是[0,1]上的“保三角形函数” A．1个        B.2个      C．3个       D．4个 参考答案： B 8. 三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（   ） A．１条　 B．２条　 C．３条    D．１条或２条 参考答案： C 9. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是常数”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 参考答案： B 10. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（　　） A．164石 B．178石 C．189石 D．196石 参考答案： C 【考点】B2：简单随机抽样． 【分析】根据216粒内夹谷27粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】解：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为=， 则由此估计总体中谷的含量约为1512×=189石． 故选：C． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数,若存在区间,使得当时, 的取值范围恰为,则实数k的取值范围是________. 参考答案： 略 12. 已知复数z满足，则复数z的共轭复数为          ． 参考答案： 2－i  由题得. 所以z的共轭复数为2-i. 故填2-i.   13. 正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于　　　　　　． 参考答案： 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角． 分析： 取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值． 解答： 解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF， 则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角， 设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0）， 则EF=AB=a，CE=CF=2a?sin60°=a， 在△CEF中， cos∠CEF===． 故答案为：． 点评： 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用． 14. 设向量与的夹角为，且，，则_     参考答案： 略 15. 函数的值域是      . 参考答案： 16. 求函数在区间上的值域为     ▲    . 参考答案： 略 17. 直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为         ． 参考答案： ﹣1 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】直线与圆． 【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2?且截距不等．即可得出． 【解答】解：∵l1∥l2，∴， 化为a2﹣2a﹣3=0， 解得a=3或﹣1． 当a=3时，l1与l2重合，应舍去． 因此a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）讨论函数f(x)零点的个数. 参考答案： （1）见证明；（2）见解析 【分析】 (1),对函数求导，研究函数的单调性，求函数最小值，证得函数的最小值大于0；（2）对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值和极值，进而得到参数的范围. 【详解】证明：(1)当时，. 令则 当时，；当时，，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点， 即 故当时，成立， (2) ，由得. 当时，；当时，， 所以在上单调减，在单调增， 所以是函数得极小值点，也是最小值点， 即 当，即时，没有零点， 当，即时，只有一个零点， 当，即时，因为所以在上只有一个零点； 由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点； 因此，当时，有两个零点. 综上，时，没有零点； 时，只有一个零点； 时，有两个零点. 【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 19. 点A（2，0）是圆x2+y2=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P为圆上的动点． （1）求线段AP的中点的轨迹方程 （2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程． （2）求出直线方程，圆心到直线的距离，利用勾股定理，求出过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长． 【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y）， 由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y） ∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4． 故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1． （2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y﹣2=0， 圆心O（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==， ∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2=2． 【点评】本题考查中点坐标公式、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20. 已知函数y=的定义域为R． （1）求a的取值范围． （2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0． 参考答案： 【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法． 【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围； （2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0，求解集即可． 【解答】解：（1）函数y=的定义域为R， ∴ax2+2ax+1≥0恒成立， 当a=0时，1＞0恒成立，满足题意； 当a≠0时，须， 即， 解得0＜a≤1； 综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}； （2）∵函数y的最小值为， ∴≥，a∈； ∴ax2+2ax+1≥； 当a=0时，不满足条件； 当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=； ∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0， 解得﹣＜x＜； ∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}． 21. （本大题12分）已知抛物线y=x2－4及直线y＝x＋2，求： （1）直线与抛物线交点的坐标； （2）抛物线在交点处的切线方程； 参考答案： 解：（1）联立得： 略 22. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明:直线BC1平行于平面D1AC,并求直线BC1到平面D1AC的距离. 参考答案： 因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 故ABC1D1为平行四边形,故,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得 而中,,故 所以,,即直线BC1到平面D1AC的距离为.