河北省邯郸市东槐树乡中学2022年高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市东槐树乡中学2022年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合，，则（   ） A．(3,+∞) B．(－1,3) C．[－1,3) D． (－2,－1] 参考答案： C 由题意得，，故选C. 点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.   2. 已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则=（　　） A． B． C．3 D．2 参考答案： A 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ． 【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴， 以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2）， ∠DAB=60°，设D点坐标为（m，）， =λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ） ?λ=m，μ=， 则=． 故选：A 　 3. 图中的曲线对应的函数解析式是（）   A. y＝｜sinx｜　　 B. y＝sin｜x｜                                                                   __ ..   C. y＝－sin｜x｜　D. y＝－｜sinx｜ 参考答案： C 4. 已知函数f（x）=当1＜a＜2时，关于x的方程f[f（x）]=a实数解的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： A 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】判断f（x）的单调性，做出f（x）的草图，得出f（t）=a的根的情况，再根据方程f（x）=t的根个数，得出结论． 【解答】解：函数f（x）=的图象如下，令f（t）=a， ∵1＜a＜2，如图所示得，方程f（t）=a有三个根：t1，t2，t3． 且t1＜0，，． 方程f（x）=t1无解，方程f（x）=t2有两个解，方程f（x）=t3无解． 故关于x的方程f[f（x）]=a实数解的个数为2， 故选：A． 5. 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的(　　) A．充分不必要条件             B．必要不充分条件 C．充分必要条件                D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 参考答案： A 【分析】 设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到， 在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A， 由，且为的中位线，可得， 即有， 在直角三角形中，可得，即有， 由双曲线的定义可得，可得， 所以，所以，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)． 7. 若复数为纯虚数，则实数a=（   ） A．－2          B．－1        C．1       D．2 参考答案： A 复数为纯虚数，所以,故选A.   8. 展开式中常数项为                                              （    ）     A．20             B．－160          C．160            D．—270 参考答案： 答案：B 9. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点的个数为（    ） A．3              B．4                C．5                D．6   参考答案： D 略 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M，N间隔3分钟先后从点P，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间为（    ） A. 37.5分钟 B. 40.5分钟 C. 49.5分钟 D. 52.5分钟 参考答案： A 【详解】分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出． 详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin， 令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+， k=0，1，2，3． ∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）． 故选：A． 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的极小值点为，则的图像上的点到直线的最短距离为            . 参考答案： 12. 已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3， =2，则在方向上的投影为　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】运用向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，再由向量投影的定义可得在方向上的投影为，计算即可得到所求值． 【解答】解：，为单位向量，且夹角为60°， 可得?=||?||?cos60°=1×1×=， 若=+3， =2， 则?=22+6?=2+6×=5， ||====， 则在方向上的投影为==． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查向量投影的概念，运算能力，属于中档题． 13. 若关于的不等式在上有解，则的取值范围为           . 参考答案： 略 14. 的展开式中的系数为          ．（用数字作答） 参考答案： 60 的展开式的通项公式为 令得r=2 ∴x3的系数为 故答案为60. 15. 的展开式中含x项的系数为___________. 参考答案： 40 由可知含的项为，因此的系数为40. 16. 在中，若          。 参考答案： 2 试题分析：因为，所以 考点：三角恒等变换. 17. 设P为曲线为参数)上任意一点，，则的最小值为______________ 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知椭圆：的上顶点为右焦点为直线与圆：相切. 高考资源网 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆交于两点，且.高考资源网 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 参考答案： 解：（Ⅰ）圆的圆心为,半径      由题意知, ,得直线的方程为       即      由直线与圆相切得高考资源网w。w-w*k&s%5￥u      ,      故椭圆的方程为                         ……………5分 （Ⅱ）由知，从而直线与坐标轴不垂直，  故可设直线的方程为，直线的方程为 将代入椭圆的方程，整理得  解得或，故点的坐标为高考资源网 同理，点的坐标为                   ……………9分 直线的斜率为= w。w-w*k&s%5￥u   直线的方程为，即高考资源网 直线过定点                              ……………12分 略 19. 已知函数（其中a，b为常数且）在处取得极值. （1）当时，求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值. 参考答案： 解：(1)因为， 所以. 因为函数在处取得极值， 所以. 当时，，， 随的变化情况如下表： 所以的单调递增区间为和， 单调递减区间为． (2)， 令，解得. 因为在处取得极值，所. 当时，在上单调递增，在上单调递减． 所以在区间上的最大值为． 令，解得. 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以最大值1在或处取得． 而， 所以，解得. 当时，在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以最大值1在或处取得． 而， 所以， 解得，与矛盾． 当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以最大值1在处取得，而，矛盾． 综上所述，或.   20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是CD中点，点F在BC上，且. （1）证明EF⊥平面PAE； （2）若，求平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值. 参考答案： (1)证明见详解；(2). 【分析】 （1）根据平面，可得，再证，即可由线线垂直推证线面垂直； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可. 【详解】（1）因为平面，平面，故可得； 设底面正方形的边长为4，故可得， ，， 故在中，满足，故可得； 又平面，且， 则平面，即证. （2）因为平面,平面，故可得， 又底面为正方形，故可得， 故以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示： 设，故可得 设平面的法向量为， 则，则 取，则. 不妨取平面的法向量. 则. 设平面与平面所成二面角的平面为， 则. 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题. 21. （本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，EA⊥平面ABCD，EF// AB，AB=4，AE=EF =2． （1）若G为BC的中点，求证：FG∥平面BDE； （2）求证：AF⊥平面FBC。 参考答案： 略 22. 已知正项数列{an}满足：a1=，an2=an﹣1an+an﹣1（n≥2），Sn为数列{an}的前n项和． （I）求证：对任意正整数n，有； （II）设数列的前n项和为Tn，求证：对任意M∈（0，6），总存在正整数N，使得n＞N时，Tn＞M． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（I）猜想an．利用数学归纳法能证明对任意正整数n，有． （II）由an+1＞an＞0，f（x）=在区间（0，+∞）上单调递增，得到an+1﹣an=≥．从而当n≥2时， =，，进而Tn=≥6﹣，由此能证明对任意M∈（0，6），总存在正整数N，使得n＞N时，Tn＞M． 【解答】证明：（I）正项数列{an}满足：a1=，an2=an﹣1an+an﹣1（n≥2）， ∴﹣a2﹣=0，a2＞0，解得a2=1＜． 猜想an． 下面利用数学归纳法证明： （i）当n=1时，成立． （ii）假设n=k∈N*时，ak≤成立． 则n=k+1时，a2k+1=ak（ak+1+1）≤（ak+