河南省开封市兰考县第六中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析

河南省开封市兰考县第六中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】可用排除法选择，根据指数函数的图象和性质，当x＜0时f（x）＞1且为减函数，当x＞0时由指数函数的图象可排除D． 【解答】解：当x＜0时f（x）＞1且为减函数 可排除B，C 当x＞0时由指数函数的图象 可排除D 故选A 2. 学校为了了解高二年级教学情况，对清北班、重点班、普通班、艺术班的学生做分层抽样调查，假设学校高二年级总人数为N，其中清北班有学生144人,若在清北班、重点班、普通班、艺术班抽取的人数分别为18，66，53，24，则总人数N为 (A)801       (B)1 288          (C)853          (D)912 参考答案： B 3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ） A. 52 B. 54 C. 56 D. 58 参考答案： A 分析：由题意，根据等差数列的性质先求出，再根据数列中项的性质求出S13的值． 详解：因为等差数列，且， ，即 ． 又， 所以． 故选A.． 点睛：本题考查等差数列的性质，熟练掌握性质，且能做到灵活运用是解答的关键． 4. 已知的值为（    ） A、－2            B、  2     C、  1        D、 参考答案： D 5. 已知数列{an}, ，其中，则等于          (　 　) 　 A.1       B.2            C. D.3 参考答案： A 略 6. 下列函数为偶函数的是(　　) A．                  B． C．             D． 参考答案： D 7. 若函数（且）经过点，则 （A）         （B）           （C）           （D） 参考答案： C 8. 设，若是和的等比中项，则的最小值为（     ）    A . 6            B．         C．8          D．9 参考答案： D 略 9. 直线的倾斜角是（   ）   （A）30°      （B）120°      （C）60°       （D）150° 参考答案： A 略 10. 设，是方程的两个实根，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵，是方程的两个根， ∴即， 且：，， ∴， 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数恒过定点的坐标是___________． 参考答案： 略 12. 已知，则=     ;=   ． 参考答案： ﹣； 【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵已知，∴x+为钝角， 则=sin=cos（x+）=﹣=﹣． ∴sin（2x+）=2sin（x+）cos（x+）=2××（﹣）=﹣， cos（2x+）=2﹣1=2×﹣1=， ∴=cos=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin =+（﹣）×=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题． 13. 若角θ满足sinθ?cosθ＜0，则角θ在第　　象限． 参考答案： 二或四 考点： 三角函数值的符号． 专题： 三角函数的求值． 分析： 根据条件判断出sinθ和cosθ异号，根据三角函数的符号判断出θ所在的象限． 解答： 解：∵sinθ?cosθ＜0， ∴或， 则θ在第二或四象限， 故答案为：二或四． 点评： 本题考查了三角函数的符号的判断，即一全正、二正弦、三正切、四余弦，要熟练掌握． 14. α是sin α + cos α =的最小正根，则cos α + cos 2 α + … + cos 8 α的值等于         。 参考答案： 0 15. 若平面向量，满足=1，平行于y轴， =（2，﹣1），则=　　． 参考答案： （﹣2，0）或（﹣2，2） 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据共线向量的性质，以及向量模的坐标运算即可求出． 【解答】解：设=（x，y），平行于y轴，得出=（x+2，y﹣1）=（0，y﹣1），解得x=﹣2 又∵足=11，∴（y﹣1）2=1 解得y=0，或y=2 ∴=（﹣2，2）或（﹣2，0） 故答案为：（﹣2，2）（﹣2，0） 16. 设函数满足，且对任意的，都有=，则。 参考答案： 解析： = 即。 17. 已知函数f(x)若f（x）在(a，a+)上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是　    　． 参考答案： （﹣，0）   【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在上既有最大值又有最小值，结合图象得到，解得即可． 【解答】解：f（x）的图象如图所示 ∵f（x）在上既有最大值又有最小值， ∴， 解得﹣＜a＜0， 故a的取值范围为（﹣，0）， 故答案为：（﹣，0）， 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）计算：，（为自然对数的底数）； （2）已知 ，求的值. 参考答案： （1）2；（2）. 【分析】 （1）由条件利用对数的运算性质求得要求式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系平方即可求解 【详解】（1）原式. （2）因为，两边同时平方，得  . 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同角三角函数的基本关系，熟记公式是关键，属于基础题． 19. 已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，f（1）=﹣． （1）求a，b的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出b的值，根据f（1）的值，求出a即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可． 【解答】解：（1）因为f（x）在定义域为R上是奇函数，所以f（0）=0， 即=0，解得：b=1， 又由f（1）=﹣，即=﹣，解得：a=1， 经检验b=1，a=1满足题意；                           （2）证明：由（1）知f（x）=，任取x1，x2∈R，设x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=， 因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2， ∴﹣＞0 又（+1）（+1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在R上为减函数． 20. 已知以点C（t，）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求证：△AOB的面积为定值． （2）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程． （3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】（1）由题意可得：圆的方程为： =t2+，化为：x2﹣2tx+y2﹣=0．求出与坐标轴的交点，即可对称S△OAB． （2）由|OM|=|ON|，可得原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线， 可得t，即可对称圆C的方程． （3）由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=2，进而得出． 【解答】（1）证明：由题意可得：圆的方程为： =t2+，化为：x2﹣2tx+y2﹣=0． 与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B．∴S△OAB==4，为定值． （2）解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线， OC的斜率k==，∴×（﹣2）=﹣1，解得t=±2，可得圆心C（2，1），或（﹣2，﹣1）． ∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，或（x+2）2+（y+1）2=5． （3）解：由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=2， 则|PB|+|PQ|的最小值为2． 直线B′C的方程为：y=x，此时点P为直线B′C与直线l的交点， 故所求的点P． 21. 如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上．记，矩形的面积为．求： （Ⅰ）的函数解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）的最大值，及此时的值．                                                            参考答案： 解: (1) ,         …………3分                          ……………5分     ……7分        ………10分          其定义域为                               ………………11分      (2) ,                ………………13分          当即时,         故的最大值为，此时             ………………16分 22. 已知，, 且. (1) 求函数的解析式； (2) 当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的x的值. 参考答案： （1）函数的最小正周期π （2）,此时,. 【分析】 根据向量数量积的坐标运算可得的解析式，再由周期公式求得结果 由可知 ，根据题意求出值，然后代入求出结果 【详解】（1） 即          （2） 由, , , , , 此时, . 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标运算，三角函数的周期性及求法，两角和与差的正弦函数，解题的关键是根据三角函数的性质熟练的表示并求解，属于中档题。