高一数学（必修一）等式与不等式练习题(含答案解析)

高一数学（必修一）等式与不等式练习题(含答案解析)一、单选题1不等式的解集为（）A或BC或D2已知正数满足 ，则的最大值（）ABCD3若，则的最小值为（）ABCD4下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则5已知集合则（）ABCD6当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） ABCD7设ab0，则下列不等式中不一定正确的是（）ABacbD8小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（）ABCD9已知，若，则的最小值是（）A2BCD10已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）ABCD二、填空题11已知，则函数的最小值为_.12已知 ， ，则 _ （填“”或“”）13已知，则的最小值是_14已知，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为_三、解答题15若命题“方程ax23x20有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围16当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元，每生产万件，需另投入成本（万元）当年产量不足万件时，；当年产量不小于万件时，通过市场分析，若每万件售价为400万元时，该厂年内生产的防护用品能全部售完(利润=销售收入总成本)(1)求出年利润（万元）关于年产量（万件）的解析式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值17已知关于x的不等式（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围18记是公差不为0的等差数列的前n项和，若（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值参考答案与解析：1B【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘，再利用十字相乘法，可得答案，【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D故选：B2B【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正数满足 ，所以有，当且仅当时取等号，故选：B3C【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】解：，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故选：4D【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若，由可得：，A错误；对于B，若，则，此时未必成立，B错误；对于C，当时，C错误；对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.5D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.6A【分析】由题意，保证当时，不等式恒成立，只需，求解即可【详解】由题意，当时，不等式恒成立，故解得故实数的取值范围是故选：A7B【分析】利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.【详解】对于A，因为ab0，所以，对a0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|ab，则选项C成立；对于D，由ab0，可得，则选项D成立.故选：B8D【分析】平均速度等于总路程除以总时间【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则，故选:D.9C【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：C10A【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.【详解】若“，”是真命题，即判别式，解得：，所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：.故选：A.117【分析】由，得，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.【详解】法一：，当且仅当，即时等号成立，故答案为：7.法二：，令得或，当时函数单调递减，当时函数单调递增，所以当时函数取得最小值为：，故答案为：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.12【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为，所以.故答案为：.13【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14【分析】考虑两个函数，由此确定，时，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值【详解】设，图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，时，时，时，因此时，时，所以，由得，代入得，因为，此式显然成立，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值15且.【分析】方程ax23x20有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，进而求出结果.【详解】由题意知，解得a，且a0，故实数a的取值范围是且.16(1)(2)当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元【分析】（1）根据题意直接利用利润=销售收入总成本，写出分段函数的解析式即可；（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个最大的即可.（1）当且时，当且时，综上：（2）当且时，当时，取最大值（万元）当且时，当且仅当，即时等号成立当时，取最大值（万元），综上所述，当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元.17（1）答案见解析；（2）【分析】（1）不等式可化为，然后分，五种情况求解不等式；（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围【详解】解：（1）不等式可化为，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得，或；当时，不等式化为；时，解不等式得，时，解不等式得，时，解不等式得综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为（2）由题意不等式对恒成立，可设，则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：，解得：，所以x的取值范围是18(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.第 10 页 共 10 页