高二(上学期)期末数学试卷及答案

高二(上学期)期末数学试卷及答案 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（　　） A. k＞0，b＞0 B. k＜0，b＜0 C. k＞0，b＜0 D. k＜0，b＞0 2. 已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（   ） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44 3. “a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（　　） A. x2=4y B. x2=2y C. x2=6y D. x2=2y 5. 已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β C. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β D. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n 6. 直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 7. 椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（　　） A. B. 2 C. D. 1 8. 直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（　　） A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5 B. 平面A′BD⊥平面A′BC C. 平面A′BD⊥平面A′CD D. A′D与BC所成角为60° 10. 设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（　　） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的方程可以是-y2=1 C. |OP|=a D. △PF1F2的面积为 11. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（　　） A. A1M∥B1Q B. AA1⊥PQ C. A1M∥面D1PQB1 D. PQ⊥面A1ACC1 12. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　） A. |PQ|的最小值为4 B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是4 C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥ D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______． 14. 直线2x+y-1=0的倾斜角是______． 15. 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ． 16. 已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ . 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程； （II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 18. 已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）． （1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程． 19. 如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，. （1）设的中点为，求证：平面； （2）求四棱锥的体积． 20. 在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题． 21. 如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，    且．    （1）求证：平面；    （2）设，，是侧棱上的一点，   且∥平面，求三棱锥的体积． 22. （本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点. （1）求点坐标； （2）当直线经过点时，求直线的方程； （3）求证直线的斜率为定值. 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件， 故选：B． 由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论． 本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题． 2.【答案】D 【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， ∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点， 且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16， 由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6. ∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28， 因此△PQF的周长为 |PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D. 3.【答案】A 【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立． 当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0， 若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则， 解得a=2或a=-2，即必要性不成立． 故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件， 故选：A 根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键． 4.【答案】B 【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF ∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴， 即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m  （m＜0） 由消去y得． 则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y= 由得，△2=8p2-8p=0，得p=． 则抛物线的方程是x2=2y． 故选：B． 如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF 可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m  （m＜0） 再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p． 本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题． 5.【答案】D 【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误； 当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误； 当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确． 故选：D． 直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可． 本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题． 6.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题． 根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可． 【解答】 解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10， 圆心坐标为（1，3），半径R=， 则圆心到直线x-y=0的距离d=， 则|AB|===4. 故选C．    7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查椭圆的简单性质，是基础题． 把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值． 【解答】 解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1， 因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上， 则c==2，解得k=1． 故选D．   8.【答案】B 【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x， 当x＜0时，曲线的方程为， ∴曲线的图象为右图， 在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象， 可得直线与曲线交点个数为2个． 故选：B． 分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数． 本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程． 9.【答案】AB 【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE， 则A′E=BE=DE=CE==． ∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确； 对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F， 又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD， ∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC， ∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC， ∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确； 对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直， ∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误； 对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角）， ∵A′C==，∴A′F=，DF==， AF==，AA′==3， ∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°， ∴A′D与BC所成角为90°，故D错误． 故选：AB． 对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题． 10.【答案】AC 【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0）， ∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2