高二（上学期）期末数学(文科)试卷及答案解析

高二（上学期）期末数学(文科)试卷及答案解析 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 命题“若函数在其定义域内是减函数，则.”的逆否命题 是( ) A. 若，则函数在其定义域内不是减函数 B. 若，则函数在其定义域内不是减函数 C. 若，则函数在其定义域内是减函数 D. 若，则函数在其定义域内是减函数 2. f（x）为定义在实数上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对任意的x∈R都成立，则（　　） A. f（1）＞ef（0），f（2013）＞e2013f（0） B. f（1）＜ef（0），f（2013）＞e2013f（0） C. f（1）＞ef（0），f（2013）＜e2013f（0） D. f（1）＜ef（0），f（2013）＜e2013f（0） 3. “x≤-1”是“x2-2x-3≥0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是( ) A. B. C. D. 6. 设抛物线C：y2=2px（p＞0），过点M（p，0）的直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=（　　） A. -1 B. 2 C. -2 D. 不确定 7. 已知函数，则f（x）的极大值点为（　　） A. B. 1 C. e D. 2e 8. 假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6：00-7：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：30-7：30之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 已知过抛物线的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为（    ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 设函数f（x）的导函数为f′（x），且当x∈[0，）时，f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，f（0）=0，下列判断中一定正确的是（　　） A. f（）＞2f（） B. f（）＞f（） C. f（ln2）＞0 D. f（）＜f（） 11. 设为双曲线：（，）的右焦点，是双曲线右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设是线段的中点，若，则双曲线的离心率为（  ） A. B. C. D. 12. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则 A. 6 B. C. 18 D. 0 二、单空题（本大题共4小题，共16.0分） 13. 从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是______ （结果用最简分数表示）. 14. 若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则k= ______ ． 15. 已知点E是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点，点F是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是______ ，渐近线的方程为______ ． 16. 函数（）的极小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共56.0分） 17. 求适合下列条件的曲线的标准方程． （1）a=4，b=5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程； （2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程． 18. 已知函数f（x）=mx-lnx-（m∈R），函数F（x）的图象经过（0，），其导函数F′（x）的图象是斜率为-a，过定点（-1，1）的一条直线． （1）讨论的单调性； （2）当m=0时，不等式F（x）≤f（x）恒成立，求整数a的最小值． 19. 一份某种意外伤害保险费为20元、保险金额为45万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为10-6．选择合适的方法并利用计算机或计算器求： （1）这家保险公司亏本的概率： （2）这家保险公司一年内获利不少于110万元的概率． 20. 在一次商贸会上，甲、乙两人相约同一天上午前去洽谈，若甲计划在9：00-9：40之间赶到，乙计划在9：20-10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率． 21. 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，．求四边形面积的最大值． 22. 已知是定义在[-1，1]上奇函数． （1）求实数a，b的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明； （3）解不等式：f（t+1）+f（2t）＜0． 答案和解析 1.【答案】A 【解析】试题分析：先对命题取逆，然后取否可得“若，则函数在其定义域内不是减函数”，选A. 考点：命题及其关系. 2.【答案】A 【解析】解：因为f（x）＜f′（x）， 所以f′（x）-f（x）＞0，两边同乘以e-x＞0得： f′（x）e-x-f（x）e-x＞0， 所以：[f（x）e-x]′＞0， 所以：[]′＞0， 所以：是增函数， 所以1＞0， 所以：，即f（1）＞ef（0）； ，即f（2013）＞e2013f（0）． 故选A． 根据f（x）＜f′（x）构造函数，得出其单调性，然后判断即可． 本题主要考查导数的应用，属于中档题． 3.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由x2-2x-3≥0，解出不等式即可判断出结论． 【解答】 解：由x2-2x-3≥0，解得：x≥3，或x≤-1． ∴“x≤-1”是“x2-2x-3≥0”的充分不必要条件． 故选：A．   4.【答案】D 【解析】解：y′=2x+3, 曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率 k=y′|x=2=2×2+3=7， 故选：D． 曲线y=x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k就等于函数y=x2+3x在点A（2，10）处的导数值,求解即可. 本题考查导数的几何意义，属于基础题. 5.【答案】C 【解析】试题分析：因为的子集有：共8个(也可用公式计算的子集数：，其中3表示集合中元素的个数)，而集合的子集有：共4个，故所求的概率为，故选C. 考点：1.集合的基本概念；2.古典概率. 6.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查方程思想的应用,属于中档题. 利用OA的斜率求出OA的方程，与抛物线联立求出A的坐标，然后求解B的坐标，利用三点共线，化简求解即可． 【解答】 解：由题意可得OA的方程为：y=k1x与抛物线C：y2=2px（p＞0），联立可得A（，）， 同理可得B（，），由题意可知A、M、B三点共线， 所以， =（p-，-），=（-p，）， 可得：-（-p）•=（p-）•， 化简可得， , 由题意易得，, 可得k1k2=-2． 故选：C．   7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，求出 f′（e）的值是解题的关键． 求出f′（e）的值，求出函数f（x）的解析式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可． 【解答】 解：f′（x）=-， 令x=e，可得：f′（e）=， ∴f（x）=2lnx-，， 令f′（x）=-＞0，解得：0＜x＜2e； ​​​​​​​令f′（x）＜0，解得：x＞2e. 故f（x）在（0，2e）递增，在（2e，+∞）递减， ∴x=2e时，f（x）取得极大值2ln2， 则f（x）的极大值点为：2e． 故选：D．    8.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查与面积有关的几何概型,设送奶工人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示牛奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可求解. 【解答】 解: 设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y， 以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间， 建立平面直角坐标系（如图）, 则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示, ​ ∴所求概率P=1-； 故选D.    9.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了抛物线的定义,在涉及抛物线的焦点弦问题时，常需要借助抛物线的定义来解决,属于基础题. 根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p,而线段AB的中点M的横坐标为3,求得x1+x2=6，进而求得AB的长度．  【解答】 解：由抛物线的方程可得，设，由中点坐标公式得， 由抛物线定义得， ​​​​​​​故选B.    10.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，判断函数值的大小，关键是构造合适的函数，属于中档题． 设g（x）=，则可判断g（x）在x∈[0，）上单调递减，利用g（x）的单调性即可判断． 【解答】 解：∵f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0， 令g（x）=， ∴g′（x）=＜0， ∴g（x）在[0，）上单调递减， ∴g（）＜g（）， ∴，可得f（）＞f（）. 故选B．   11.【答案】C 【解析】根据已知得到△F1PF2是直角三角形，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．．本题主要考查双曲线离心率的计算，判断三角形是直角三角形是解决本题的关键．属于中档题． 解：如图，设F1为双曲线T：（a＞0，b＞0）的左焦点， 依题意可得OM是△PF1F2的中位线，PF1=6，PF1⊥PF2， ∴PF+PF=4c2，即c=． 2a=PF1-PF2=4，a=2， 则双曲线T的离心率为． 故选：C． 12.【答案】B 【解析】试题分析：即。又奇函数图象关于原点对称，所以如果，是方程的根，则－－3，－－3也是该方程的根，所以－6， 故选B。 考点：本题主要考查函数的图象和性质，方程的根与图象与x轴交点的关系。 点评：利用函数的奇偶性及图象的对称性，确定得到方程根的关系，从而求得之和。 13.【答案】 【解析】解：从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，共有种取法， 取出的两个数的和仍是质数共有（2，3），（2，5），（2，11）3种取法， 故两个数的和仍是质数的概率是=． 故答案为：． 分别求出任取两个数的种数和取出的两个数的和仍是质数的种数，然后由古典概型的计算公式求解即可． 本题考查古典概型公式的运用，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题． 14.【答案】 【解析】解：∵y=kx2+lnx， ∴y′=2kx+，则y′|x=1=2k+1， ∵曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线x+2y-1=0垂直， ∴（2k+1）×（-）=-1，解得：k=． 故答案为：． 求导函数，然后确定切线的斜率，利用曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线x+2y-1=0垂直，建立等式，解之即可求出所求． 本题考查了利用导数研究在