湖南省郴州市市北湖实验学校2023年高三数学文联考试卷含解析

湖南省郴州市市北湖实验学校2023年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为等差数列的前n项和，，等比数列中，，则等于（   ）  A.     B.      C.      D. 32 参考答案： C 2. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为  A．　         B．          C．　         D． 参考答案： D【知识点】双曲线的性质.  H6 解析：根据题意得PQ⊥x轴，则，解得， ,则△的周长为，故选D. 【思路点拨】根据题意得，△是以PQ为底边的等腰三角形，由勾股定理及双曲线的定义求得，进而求得△的周长. 3. 设为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时a的取值范围是（    ） A．(－∞,0)∪{1}    B．(－∞,1]     C．(0,1]    D．[1,+∞) 参考答案： A 4. 已知平面向量a=（－2，m），b=（1，），且，则实数m的值为 A．    B．   C．    D． 参考答案： B 因为，所以。即，解得，选B. 5. 已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么实数k的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： C 6. 已知函数f（x）=4x3﹣ax+1存在n（n∈N）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（　　） A．A（0）=（﹣∞，3] B．A（1）={2} C．A（2）=（3，+∞） D．A（3）=（3，+∞） 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】令f（x）=0得出a=4x2+，令h（x）=4x2+，判断h（x）的单调性，作出h（x）的函数图象，利用函数图象判断方程h（x）=a的解的个数，从而得出A（n）． 【解答】解：令f（x）=0得a=4x2+， ∴当f（x）有n个零点时，方程a=4x2+有n个不同的解． 设h（x）=4x2+，则h′（x）=8x﹣=， ∴当x＞时，h′（x）＞0，当x＜0或0时，h′（x）＜0． 作出h（x）=4x2+的大致函数图象如下： 由图象可知当a＜3时，h（x）=a只有一解， 当a=3时，h（x）=a有两解， 当a＞3时，h（x）=a有三解． ∴A（0）=?，A（1）=（﹣∞，3），A（2）={3}，A（3）=（3，+∞）． 故选D． 　 7. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（ ） A．||＝1 B．⊥ C．?＝1 D．（4+）⊥ 参考答案： D 试题分析：,,． 由题意知． ．．故D正确． 考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 8. 函数y=2x﹣x2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】3O：函数的图象． 【分析】分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排除BCD，问题得以解决． 【解答】解：y=2x﹣x2， 令y=0， 则2x﹣x2=0， 分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示， 由图象可知，有3个交点， ∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点， 故排除BC， 当x＜﹣1时，y＜0， 故排除D 故选：A． 9. 已知数列{an}是等差数列，且a1 +a4+a7=2，则cos（a3+a5）= A．   B．-   C．  D．-   参考答案： B 【知识点】等差数列的性质 ∵等差数列{an}中，a1+a4+a7=3a4=2，∴a4=，又a3+a5=2a4=，∴cos（a3+a5）=cos=﹣，故选B. 【思路点拨】利用等差数列的性质可得a3+a5=2a4=，从而可得答案．   10. 定义在R上的函数g（x）=ex+e﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，2） D．（2，+∞） 参考答案： C 【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据f（﹣x）=ex+e﹣x+|x|=f（x）得该函数是偶函数，再由函数的单调性以及对称性求出不等式的解集． 【解答】解：：∵函数f（﹣x）=ex+e﹣x+|x|=f（x）， ∴函数f（x）是偶函数， ∵f（2x﹣1）＜f（3），且函数在（0，+∞）是增函数， ∴|2x﹣1|＜3即可，解得﹣1＜x＜2， 故选：C． 【点评】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，利用奇（偶）函数图象的对称性，将函数值的大小对应的不等式进行转化，体现了转化思想，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 极坐标方程为的圆与参数方程的直线的位置关系是       . 参考答案： 相交 12. 过点P（-，-1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是    。 参考答案： [0,] 13. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　　． 参考答案： 96 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可． 【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种． 故答案为：96． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________．。 参考答案： 15. ．已知i为虚单位，则复数的虚部为             。 参考答案： -1 略 16. 若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=　　． 参考答案： 1 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解． 解答： 解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+）， ∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+）， ∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0， ∴ln（+x）（﹣x）=0， ∴lna=0， ∴a=1． 故答案为：1． 点评： 本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题． 17. 函数的最小正周期为       . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f(x)＝xex+a(1-ex)+1． （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在(0，+∞)上存在零点，证明：a＞2． 参考答案： （1）解：函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)， 因为f(x)＝xex+a(1-ex)+1，所以f′(x)＝(x+1-a)ex． 所以当x＞a-1时，f′(x)＞0，f(x)在(a-1，+∞)上是增函数； 当x＜a-1时，f′(x)＜0，f(x)在(-∞，a-1)上是减函数． 所以f(x)在(a-1，+∞)上是增函数，在(-∞，a-1)上是减函数． （2）证明：由题意可得，当x＞0时，f(x)＝0有解， 即有解． 令，则． 设函数h(x)＝ex-x-2，h′(x)＝ex-1＞0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增． 又h(1)＝e-3＜0，h(2)＝e2-4＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点． 故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．设此零点为k，则k∈(1，2)． 当x∈(0，k)时，g′(x)＜0；当x∈(k，+∞)时，g′(x)＞0． 所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(k)． 又由g′(k)＝0，可得ek＝k+2，所以， 因为a＝g(x)在(0，+∞)上有解，所以a≥g(k)＞2，即a＞2．   19. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，曲线： （1）曲线是否有公共点, 为什么? （2）若把上各点的横坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.问与公共点的个数和与公共点的个数是否相同？说明你的理由. 参考答案： （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）的普通方程为，圆心，半径．………………1分 的普通方程为．………………2分 因为圆心到直线的距离为，………………4分 所以与只有一个公共点．………………5分 （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为 ：； ：………………6分 化为普通方程为：：，：，………………8分 联立消元得，其判别式，………9分 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．…10分 20. 设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费200元．设每天的购票人数为x人，赢利额为y元． （1）求y与x之间的函数关系； （2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：①利润=门票收入﹣固定成本﹣变动成本； ②可选用数据：，，． 参考答案： 考点： 函数模型的选择与应用．. 专题： 应用题；综合题；数学模型法． 分析： （1）由题意设出可变成本的解析式，用门票收入减去固定成本与可变成本，即得所求的y与x之间的函数关系； （2）设每张门票至少需要a元，代入不超过100人时的解析式，令其大于0，解出参数a的取值范围，得出其最小值． 解答： 解：（1）依题意有可设变动成本 当x=25时，有?k=50 故（0＜x≤100，x∈N*） 当x＞100时， ∴ （2）设每张门票至少需要a元，则有 又a取整数，故取a=37． 答：每张门票至少需要37元． 点评： 本题考查函数模型的选择与应用，根据实际问题选择合适的模型是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去． 21. （本小题满分12分）如图△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,，BE．    （1）证明：平面ACD平面；    （2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求的最大值及相应的取值.   参考答案： （1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形  ∴，---------1分 ∵ DC平面ABC ,平面ABC   ∴． ----------2分 ∵AB是圆O的直径  ∴且 ∴平面ADC．  ∵DE//BC   ∴平面ADC -------------5分 又∵平面ADE   ∴平面ACD平面----------------6分    （2）在Rｔ△ABC中 ∵（） ∴-----------------8分 ∴（） 当且仅当，即时，“＝”成立，----------12分 22. （本小题满分14分）已知数列{}的前项和为Sn，且S4=4，当n≥2时，满足 （1）求证：{}为等差数列； （2）求的值。 参考答案： (1) 故有：………………………………7分ks5u （2）原式=   …………