医用高等数学课件2-极限与连续-(2011)-rev

极限与连续定义2.1无穷多个数按如下顺序排列称为数列数列,简记为。数列又可记为,并称为下标函数下标函数。数列的极限一些数列的例子1.2.3.数列的极限4.5.不难看出第 1、2、3项数列当时趋于某常数常数。而第4、5、6项数列不存在这样的情形。数列的极限对于数列我们不难看出随着下标n 趋于无穷，数列的元素无限趋于0（一个常数）。具有类似性质的数列，我们认为它存在极限极限（或称收敛收敛）。如何用数学语言来刻画（界定）存在极限的数列?使用定义（Cauchy&Weierstrass）这个定义对微积分的基础很重要，但对计算极限帮助不大。数列的极限定义2.2设有数列和常数，如果对任意给定的，存在正整数，使当时，恒有成立，则称常数为数列的极限极限(或称收敛收敛到)，记为若数列没有极限，则称其发散发散。数列的极限定义的核心思想核心思想为了描述无限趋于常数，我们引入一个用于比较的正数。既然随着而无限趋于常数，则与常数的距离必定也无限趋于0，也就是说无论有多小，从某个开始（），会比更小（也就是）。数列的极限一些数列极限数列的极限主要分两种情况讨论：情形一：时函数的极限。情形二：时函数的极限。每种情形还可分别讨论其左右极限。函数的极限情形一：时函数的极限。例如：又如：函数的极限我们看到：当代入到就得到所求极限。而却不能直接将代入计算。函数的极限观察函数与的异同。函数的极限定义2.4设有函数和常数.如果对任意给定的正数，总存在，使当时，恒有则称常数为时函数的极限极限，记作函数的极限注意：1.函数在时是否存在极限与在处有无定义无关无关。例如:函数的极限注意：2.定义中的方式是任意的，既可从的左侧趋于，也可从的右侧趋于。有时需要用到单侧极限（仅从的左/右侧趋于）例如：函数的极限计算左/右极限设计算：，函数的极限定理2.1的充分必要条件是即：函数的极限情形二：时函数的极限。例如：又如：函数的极限证明：证：函数的极限定义2.5设函数在时有定义，为常数。如果对任意给定的正数，总存在正数，使当时，恒有则称常数为时函数的极限，记为函数的极限定理2.2的充分必要条件是即：函数的极限定义2.6 极限为零的变量称为无穷小量无穷小量。例如：，所以当时，是无穷小量。辨析：并不总是无穷小量，例如当时就不是。注意：无穷小量与极限过程()相关。无穷小（大）量定理2.3：极限的充分必要条件是，函数在的某空心邻域内可表示为，即其中为时的无穷小量，即无穷小（大）量无穷小量的性质1.有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。2.任意多个无穷小量之积仍为无穷小量。3.无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。无穷小（大）量例子1.无穷小（大）量定义2.7设和是同一变化过程()中的两个无穷小量，且.1)若，则称是的高阶无穷小量。2)若，则称是的同阶无穷小量。特别当时，称是的等价无穷小量。记作：无穷小（大）量例如当时，都是无穷小量。1.是的高阶无穷小量。2.与是同阶无穷小量。3.与是等价无穷小量。无穷小（大）量性质2.5（无穷小量等价替换定理无穷小量等价替换定理）如果，且极限存在，则有注意该方法的适用范围。无穷小（大）量定义2.8在自变量的某一变化过程中，若变量的绝对值无限增大，则称为无穷大量。即若有，则称为无穷大量。例如：当时，是无穷大量。无穷小（大）量不是无穷大量的例子解释:因为当时而当时无穷小（大）量既不趋于常数，也不趋于无穷既不趋于常数，也不趋于无穷无穷大量与无穷小量的关系1.无穷大量的倒数为无穷小量。2.无穷小量的倒数为无穷大量。3.任意多个无穷大量的乘积为无穷大量。无穷小（大）量基本性质基本性质性质2.6若极限存在，则极限值唯一。性质2.7若极限存在，则在的某空心邻域内有界。性质2.8若极限，则在的某空心邻域内恒大于零。性质2.9若，且在的某空心邻域内恒有，则。极限的基本性质与运算法则极限的四则运算法则定理2.4若极限与都存在，则有，。极限的基本性质与运算法则定理2.4 推论1.2.3.4.极限的基本性质与运算法则定理2.6设与构成复合函数.若，且，则有极限的基本性质与运算法则推论2.5(幂指函数的极限)设，则有证明：利用等式，再结合极限运算性质和复合函数的极限。极限的基本性质与运算法则计算极限1.2.3.已知，求的值。4.极限的基本性质与运算法则计算极限5.6.7.8.极限的基本性质与运算法则解：设则不难得到解：设则：故：解:解：解：当时，分子故若要使极限值为常数1，则必须有即：得到代入原式已知，求。解：分析：若，则极限趋于无穷。所以。当时，原极限已知,求。定理2.7假设在的某空心邻域内，恒有其中，且有则极限存在，且有极限的存在性定理定理2.7 示意图极限的存在性定理定义2.9设有数列.(1)如果，则称数列是有界的。(2)如果，则称数列是单调增加的；反之称其单调减少。定理2.8单调有界数列必有极限。极限的存在性定理例1：计算解：注意到不难得出原式等价于极限的存在性定理解：设则而故解：设则而故例题2.20设，求解：1.先证存在极限，即证单调有界。易见，由此，并利用数学归纳法可证，故单调递增。-利用不等式，可得，故有上界。综合以上两点，存在极限。极限的存在性定理例题2.20设，求解：2.不妨设的极限为则由，并对其两边分别求极限，不难得到：即解得极限的存在性定理例题：计算解：本题使用定理2.7的方法计算。设，则取极限后有：故极限的存在性定理1.两个重要极限证明:按面积从小到大顺序排列1.三角形OPA2.扇形OPA3.三角形OTA两个重要极限即有：等价于:同除以后:再取倒数:两个重要极限再对上式取极限由Sandwich定理:再由:两个重要极限由导出的等价命题1.2.3.两个重要极限证明：证：令，则当时。由定理2.6复合函数的极限定理同理可证：两个重要极限2.先证明：证明思路：证明单调递增有上界。两个重要极限首先证明：单调单调递增递增利用平均不等式即：两个重要极限利用平均值不等式说明单调递增。两个重要极限其次证明：有上界。证明方法：构造易见：我们来证明：单调递减单调递减。两个重要极限所以的最大值为4，因此 4 也是的上界。证明：即证：等价于:两个重要极限利用不等式可证：故命题：成立.因此：是单调递增有上界的数列。两个重要极限记：将称为自然常数。下面证明：两个重要极限证明：证：设,则时,。故:又：两个重要极限解释：两个重要极限综合与我们有：推广到实数域：两个重要极限证明：证：1.当时,等式成立。2.当时,两个重要极限由导出的等价命题.1.2.3.两个重要极限取 x 的倒数等式两边取对数 ln令 并代入3.证明：令并代入左式左式，得到所以:两个重要极限4.两个重要极限 令，原式取倒数。当时的等价无穷小量1.2.3.4.等价无穷小量1.计算解：易见故：习题2.计算解：习题3.计算解：设 当 时，；所以有 因此：所以：习题4.计算解：由 及可知：而所以习题习题补充习题习题已知:,证明:存在并求解。解：先证明数列单调有界极限存在由，可知：且：，故数列单调递减有下界。因此不妨设，并有习题4.计算解：设，则 所以：习题