医用高等数学课件不定积分

医用高等数学医用高等医用高等数学数学”医用高等数学第三章 一元函数积分学微分法:积分法:互逆运算医用高等数学一、不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法三、换元积分法 四、分部积分法四、分部积分法 五、有理函数的积分五、有理函数的积分第一节第一节 不定积分不定积分医用高等数学一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义3-1 若在某区间上若在某区间上 ,则称则称 为为 在该区间上的一个在该区间上的一个原函数原函数例例 医用高等数学（为任意常数）为任意常数）分析分析（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数,则则（为任意常数）为任意常数）结论结论（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，都有都有（3）为为 原函数的全体原函数的全体问题问题(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何表示原函数的全体如何表示?医用高等数学 定义3-2 若函数若函数 是是 一个原函数一个原函数,则则 原函原函数的全体数的全体 称为的称为的不定积分不定积分.记为记为.任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量 由此可知由此可知,求求 不定积分只需求出不定积分只需求出 一个原函数一个原函数,再加上任意常数再加上任意常数 .医用高等数学例例3-1 求求解解例例3-2 求求解解一个原函数 一个原函数,所以医用高等数学不定积分的几何意义不定积分的几何意义是积分曲线是积分曲线 上、下上、下平移所得到一族积分曲平移所得到一族积分曲线，称为线，称为积分曲线族积分曲线族在点处有相同的斜在点处有相同的斜率，即这些切线率，即这些切线互相平行互相平行医用高等数学二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基本积分公式 或或性质性质3-1或或性质性质3-2性质性质3-3性质性质3-4医用高等数学基本积分公式基本积分公式 (3)(4)医用高等数学医用高等数学例例3-33-3 求求例例3-43-4 求求解解解解医用高等数学例例3-53-5 求求解解医用高等数学例例3-73-7 求求例例3-63-6 求求解解 解解 医用高等数学例例3-83-8 求求解解 医用高等数学但是但是解决方法解决方法 利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.问题的提出三、换元积分法三、换元积分法 因为因为第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)医用高等数学注意注意 使用此公式的关键在于使用此公式的关键在于证明证明定理定理3-13-1设 具有原函数F(u)，可导，则有换元公式则有换元公式医用高等数学解解例例3-93-9 求求医用高等数学例例3-103-10 求求解解对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量例例3-113-11 求求解解医用高等数学例例3-123-12 求求解解例例3-133-13 求求解解医用高等数学例例3-143-14 求求解解医用高等数学同理可得同理可得例例3-153-15 求求解解医用高等数学解解例例3-163-16 求求例例3-173-17 求求解解医用高等数学解法解法1例例3-183-18 求求解法解法2解法解法3医用高等数学凑微分常见的类型凑微分常见的类型医用高等数学医用高等数学第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分 下面介绍的第二类换元法是通过变量换下面介绍的第二类换元法是通过变量换 将积分将积分2第二类换元法第二类换元法定理定理3-23-2设设 单调、可导，且，若单调、可导，且，若具有原函数具有原函数，则有，则有医用高等数学证明证明 注意注意 使用此公式的关键在于通过变量替换使用此公式的关键在于通过变量替换 将将 换成一个容易求得的积分换成一个容易求得的积分 来计来计算算医用高等数学例例3-193-19 求求解解 令令医用高等数学 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称换去掉根式后再积分，也称根式代换根式代换.例例3-203-20 求求解解 令令医用高等数学 若被积函数中含有若被积函数中含有 时时,可采用三角替可采用三角替换的方法化去根式换的方法化去根式,这种方法称为这种方法称为三角代换三角代换.三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令医用高等数学解解 设设例例3-213-21 求求医用高等数学解解 令令例例3-223-22 求求医用高等数学解解 令令例例3-233-23 求求医用高等数学注注 倒数代换倒数代换 也是常用的代换之一也是常用的代换之一 解解 令令例例3-243-24 求求医用高等数学考虑积分考虑积分解决思路解决思路利用利用分部积分法分部积分法 四、分部积分法四、分部积分法 证明证明 由导数公式由导数公式即即两边求不定积分两边求不定积分分部积分公式分部积分公式所以所以定理定理3-33-3医用高等数学解解 令令如果令如果令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.例例3-253-25 求求更复杂了更复杂了!医用高等数学 选择注意以下两点选择注意以下两点 若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积积,设幂函数为设幂函数为 .例例3-263-26 求求解解医用高等数学解解例例3-273-27 求求例例3-283-28 求求解解医用高等数学解解 令令例例3-293-29 求求 若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为乘积，设对数函数或反三角函数为 .医用高等数学解解例例3-303-30 求求 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可二者皆可作为作为 ,但作为但作为 的函数的类型不变的函数的类型不变.医用高等数学例例3-313-31 求求解解 设设 ,则则医用高等数学有理函数有理函数 两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数.五、有理函数的积分五、有理函数的积分其中其中 、都是非负整数；都是非负整数；及及 都都是实数是实数,并且并且 ，.假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式.医用高等数学例例注意注意 (1)(1)利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之一个真分式之和和.(2)(2)在实数范围内真分式总可以为几个在实数范围内真分式总可以为几个最简分式最简分式之和之和.最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式其中其中 都是待定的常数都是待定的常数.医用高等数学分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为(3)(3)有理函数化为部分分式之和的一般规律有理函数化为部分分式之和的一般规律分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为则分解后为,为待定的常数为待定的常数 .其中其中其中其中 为待定的常数为待定的常数.医用高等数学 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时同时要把上面的待定的常数确定要把上面的待定的常数确定,这种方法叫这种方法叫待定系数法待定系数法例例3-32 求求解解 设设下面确定系数下面确定系数A、方法方法1：去分母去分母,两端同乘以两端同乘以 ,得得比较两端比较两端 同次幂的系数同次幂的系数,得得医用高等数学解方程组解方程组,得得方法方法2：在恒等式中在恒等式中 ,令令 ,得得 ;令令 ,得得 .医用高等数学例例3-33 求求解解 设设医用高等数学解解 设设例例3-34 求求医用高等数学医用高等数学解解 例例3-35 求求 分析分析:被积函数的分母被积函数的分母 在实数范围内不能在实数范围内不能因式分解因式分解,可用凑微分法求解可用凑微分法求解.医用高等数学 1原函数的概念不定积分的概念不定积分的性原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式质基本积分公式主主 要要 内内 容容2两类换元法两类换元法3分部积分法分部积分法 （1）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积的乘积,设幂函数为设幂函数为 .(2)若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为的乘积，设对数函数或反三角函数为 .(3)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆二者皆可作为可作为 ,但作为但作为 的函数的类型不变的函数的类型不变.医用高等数学作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.