医用高等数学课件导数的应用

医用高等数学医用高等医用高等数学数学”医用高等数学第四节第四节 导数的应用导数的应用一、一、Lagrange中值定理中值定理二、二、L LHospitalHospital法则法则三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值四、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的凹凸性与拐点五、函数曲线的渐近线五、函数曲线的渐近线六、函数图形的描绘六、函数图形的描绘医用高等数学一、一、Lagrange中值定理中值定理 定理定理2-3 如果如果函数函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续,在开在开区间区间 上可导上可导,则在则在 内至少存在一点内至少存在一点 ,使下面使下面等式成立等式成立 或或几何解释几何解释医用高等数学 注意注意 LagrangeLagrange中值定理亦称微分中值定理中值定理亦称微分中值定理,它它精精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间它是沟通导数和函数之间的桥梁的桥梁.推论推论1 1推论推论2医用高等数学例例2-342-34 证明证明证明证明医用高等数学例如例如二、二、L LHospitalHospital法则法则1医用高等数学定理定理2-4 LHospital法则法则如果函数如果函数 与与 满足下列三个条件满足下列三个条件 (1)当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都趋于都趋于 或都趋于或都趋于 ;(2)当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都存在都存在,且且 ;(3)存在或者无穷大存在或者无穷大则当则当 或或 时时,医用高等数学例例2-352-35解解例例2-362-36解解医用高等数学例例2-372-37解解例例2-382-38解解医用高等数学方法方法 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 .方法方法2（1）例例2-392-39解解医用高等数学方法方法（2）例例2-402-40解解医用高等数学方法方法解解（3）例例2-412-41医用高等数学解解解解例例2-422-42例例2-432-43医用高等数学解解 利用利用洛必达法则洛必达法则例例洛必达法则失效洛必达法则失效!注意注意 洛必达法则不是万能的洛必达法则不是万能的(两边同乘以两边同乘以 )事实上事实上医用高等数学三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值1函数的单调性函数的单调性 定理定理2-5 若函数若函数 在区间在区间 内可导内可导,且且 (或或 ),则函数则函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加(或单调减少或单调减少).医用高等数学证证应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理,得得医用高等数学解解例例2-442-44 讨论函数讨论函数 在在 内的单调性内的单调性.由定理由定理2-5,2-5,在在 上单调增加上单调增加解解例例2-452-45 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.在在 内是严格单调减少的内是严格单调减少的.在函数的定义域在函数的定义域 内内,除除 时时,外外,恒有恒有,所以在所以在 及及 内恒有内恒有 ,因此因此,医用高等数学求单调区间的方法求单调区间的方法解解 定义域为定义域为例例2-462-46医用高等数学例例2-472-47 求函数求函数 的单调区间的单调区间.解解医用高等数学 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.则称则称 为为 的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值).并称并称 为为 的极大值点的极大值点(或极小值点或极小值点).2函数的极值函数的极值 定义定义2-3 函数函数 在在 点某邻域内有定义点某邻域内有定义,若若 在该邻域内有在该邻域内有(或或 )医用高等数学极大值点极大值点极小值点极小值点问题问题1 极值点在什么地方取得极值点在什么地方取得?问题问题2 如何判断在该点取得极大值还是极小值如何判断在该点取得极大值还是极小值?医用高等数学 定理定理2-6 设函数设函数 在点在点 处可导处可导,且在且在 处取处取得极值得极值,则则 .满足满足 的点的点,称为驻点称为驻点.注意注意 可导函数的的极值点必定是驻点可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点但函数的驻点不一定是极值点不一定是极值点.例如例如如何来判断驻点是极值点呢如何来判断驻点是极值点呢?(1)(1)若若 时，时，时时,则则 在在 点取得极大值点取得极大值.定理定理2-7 (第一判别法第一判别法)设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域内可导内可导,且且 ;医用高等数学(2)(2)若若 时，时，时时,则则 在在 点取得极小值点取得极小值.(是极值点情形是极值点情形)(3)(3)若当若当 在在 两侧时两侧时,符号不变，则符号不变，则 在在 点不取极值点不取极值.(不是极值点情形不是极值点情形)注意注意 函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.医用高等数学求极值的步骤求极值的步骤:如函数如函数 在在 不可导不可导,但但 取得极小值取得极小值.医用高等数学解解列表讨论列表讨论例例2-482-48 求求 的极值的极值.极极大大值值极极小小值值医用高等数学(1)若若 ,则则 是是 极大值极大值;(2)若若 ,则则 是是 极大值极大值;(3)若若 ,无法判断无法判断 是否在是否在 处取得极值处取得极值.证明证明 定理定理2-8 (第二判别法第二判别法)设函数设函数 在在 点有二阶点有二阶导数导数,且且 .所以函数所以函数 在在 处取得极大值。处取得极大值。医用高等数学解解例例2-492-49 求求 的极值的极值.注意注意而而当当 时和时和 时时,故故 时时,不取极值不取极值.当当 时和时和 时时,故故 时时,不取极值不取极值.医用高等数学3.3.最大值与最小值最大值与最小值求最大值与最小值步骤求最大值与最小值步骤:(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,那那个最大就是最大值个最大就是最大值,那个最小就是最小值那个最小就是最小值;注意注意 如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)医用高等数学解解计算得计算得例例2-502-50 求函数求函数 在在 的最值的最值.比较得比较得:实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值。求最值。令令 得驻点得驻点 时时,不存在不存在.医用高等数学 例例2-512-51 肌肉注射或皮下注射药物后肌肉注射或皮下注射药物后,血中的药物浓血中的药物浓度可表示为度可表示为解解令令 ,可得可得 其中其中 、是大于零的常数是大于零的常数,且且,问时间问时间 为为 何值时何值时,药物浓度为最大药物浓度为最大,最大浓度是多少最大浓度是多少?医用高等数学故故 时时,取极大值取极大值.由于由于C在在 上只有一个极大值点上只有一个极大值点,且且 ,即当时间即当时间 时时,血药浓度为最大血药浓度为最大,其最大浓度其最大浓度为为.所以所以 时时,C达到最大值达到最大值医用高等数学五、曲线的凹凸性与拐点五、曲线的凹凸性与拐点凹凹凸凸定义定义2-4则称曲线则称曲线 在在 上是上是凹的凹的或或凸的凸的.或 医用高等数学问题问题:如何判断曲线的凹凸性呢如何判断曲线的凹凸性呢?通过观察可知通过观察可知 若曲线在区间若曲线在区间a,b上凹的上凹的,则则 ;若在区间若在区间a,b上上凸的凸的,则则 .因此有下面的定理因此有下面的定理.医用高等数学定理定理2-192-19例例2-522-52解解注意到注意到,医用高等数学 求拐点的求拐点的步骤步骤:连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的曲线的拐点拐点.注意注意 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在医用高等数学解解 例例2-532-53 讨论曲线讨论曲线 的凹凸性及拐点的凹凸性及拐点.凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点不存在不存在故故 和点和点 是曲线的拐点是曲线的拐点.医用高等数学定义定义2-52-5六、函数曲线的渐近线六、函数曲线的渐近线1.1.垂直渐近线垂直渐近线例如例如有垂直渐近线有垂直渐近线:医用高等数学2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:医用高等数学3.3.斜渐近线斜渐近线例例2-542-54 求求 渐近线渐近线.解解故故 是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线.如果如果 且且医用高等数学七、函数作图七、函数作图医用高等数学利用函数特性描绘函数图形步骤利用函数特性描绘函数图形步骤第二步第二步判断函数的周期性与奇偶性判断函数的周期性与奇偶性;求函数求函数 的定义域的定义域,以确定描绘的范围以确定描绘的范围;第一步第一步第四步第四步 确定这些区间上确定这些区间上 、的符号的符号,并由此并由此讨论曲线的升降和凹凸讨论曲线的升降和凹凸,以及极值点和拐点以及极值点和拐点;第三步第三步 求求 的一阶导数的一阶导数 和二阶导数和二阶导数 ,并并在定义域内在定义域内,求出使求出使 、为零的点和导数不存在的为零的点和导数不存在的点点.把这些点由小到大排序把这些点由小到大排序,从而把定义域分成若干区间从而把定义域分成若干区间,然然后列表；后列表；第五步第五步 确定渐近线确定渐近线,并根据需要补充一些辅助点的坐并根据需要补充一些辅助点的坐标标.最后按照曲线的性态逐段描绘最后按照曲线的性态逐段描绘,得到函数的图形得到函数的图形.医用高等数学例例2-552-55 描绘函数曲线描绘函数曲线 的图像的图像.解解 函数函数 的定义域为的定义域为 .令令 得得令令 得得 ;拐点拐点极小值极小值不存不存在在不存不存在在不存不存在在医用高等数学则则 为曲线为曲线 的垂直渐近线的垂直渐近线.医用高等数学,补充补充根据以上信息绘出图形根据以上信息绘出图形医用高等数学函数为偶函数函数为偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称解解 定义域为定义域为例例2-562-56 描绘函数曲线描绘函数曲线 的图像的图像.令令 得得 ;令令 得得医用高等数学列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点拐点拐点极大值极大值拐点拐点医用高等数学 例例2-572-57 19701970年年,Page,Page在实验室饲养雌性小鼠在实验室饲养雌性小鼠,通过通过收集大量资料分析收集大量资料分析,得小鼠的生长函数为得小鼠的生长函数为解解 定义域为定义域为 其中其中,为体重为体重,为时间为时间.试描绘试描绘小鼠生长函数的曲小鼠生长函数的曲线线.医用高等数学显然显然令令 ,解得解得为水平渐近线为水平渐近线医用高等数学 此曲线符合此曲线符合LogisticLogistic生长曲线生长曲线.由图形可以看出由图形可以看出,小鼠小鼠开始时增长缓慢开始时增长缓慢,然后较快然后较快,最后变缓慢最后变缓慢,而在拐点处附近而在拐点处附近生长最快生长最快.医用高等数学主主 要要 内内 容容1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.洛必达法则洛必达法则3.单调性单调性 凹凸性凹凸性 极值极值 最值最值 极值点极值点 拐点拐点4.渐近线渐近线5.作图作图作业：作业：思考与练习思考与练习 1.2.3.4.