泰州市高三第二次适应性考试数学试题（含答案）

泰州市2021高三第二次适应性考试 数学试题 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）． 1．已知集合，且，则下列说法一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 已知，其中是虚数单位，则的值为（ ） A． B． C．5 D．25 3．函数在点处的切线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 4．已知直线，甲说：过，乙说：过，丙说：过， 丁说：，若其中仅有一人判断错误，则此人是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．某校举行数学文化节活动，准备从5名同学中选2人作为宣传员，则甲被选中的概率为 （ ） A． B． C． D． 6. 函数的图像大致为（ ） 7．已知函数，若直线与图象的交点为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，其中向量是两个不共线向量，若的面积为6，则的面积为 （ ） A．8 B．10 C．12 D．16 二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的有（ ） A．有理项有3项 B．第4项的系数为 C．常数项为 D． 各项系数之和为 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A．有无数条对称轴 B．没有对称中心 C．在有三个零点 D．的最大值为 11.我国是世界上重要的产棉国，我国棉花种植区域根据地域划分为长江流域、黄河流域和西北内陆三大产棉区。根据下列图表，下面说法正确的有（ ） 2000-2019年度新疆棉花产量与全国棉花产量及新疆棉花产量在全国所占比例情况表 2000-2019年度新疆棉花产量与全国棉花产量及新疆棉花产量在全国所占比例情况图 A．新疆棉花产量从2000年到2008年呈现逐年增长趋势，产量翻一番还要多 B．2017年新疆棉花产量激增，之后连续三年在全国所占比例都超过 C．全国除新疆外其他地区棉花产量总和从2000年到2019年呈现逐年下降趋势 D．从2016年到2019年全国除新疆外其他地区棉花产量总和的平均值比新疆棉花产量从2000年到2003年新疆棉花产量平均值小 12. 数学家称为黄金比，记为．定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比，则称该椭圆为“黄金椭圆”．以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆．若黄金椭圆”：与它的焦点圆在第一象限的交点为，则下列结论正确的 有（ ） A. B. 黄金椭圆离心率 C. 设直线的倾斜角为，则 D. 交点坐标为 三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）. 13．已知正项等差数列的前项和为 ，若，，则 ． 14.在平面直角坐标系中，已知圆与轴和直线都相切，则满足要求的一个圆的标准方程是 ． 15．已知抛一枚质地均匀的硬币次，其中正面向上的次数近似看成服从正态分布，则我们可以估计为 （保留两位有效数字）． （） 16．已知点是边长为12的等边三角形的两边的中点，沿折叠 ，使得二面角为，则四棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分） 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列是等比数列； （2）设的前项和为，求． 18．（本题满分12分） 在中，角所对的边分别为，且满足， （1）求角的最小值； （2）当时，求的值． 19． （本题满分12分） 2020年，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展成效持续显现，工业和出口较快增长，投资和消费稳步恢复，就业和物价总体稳定，基本民生保障有力，国民经济持续稳定恢复．如图为2020年国家统计局发布的社会消费品零售总额增速（月度同比）与月份折线图: （社会消费品零售总额统计范围是从事商品零售活动或提供餐饮服务的法人企业、产业活动单位和个体户．） （1）由折线图看出，4月至12月可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）根据4月至12月的数据，求关于的回归方程，（系数精确到）． 参考数据：，，，， 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 20．（本题满分12分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，， ，，． （1） 求证：平面 平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 21． （本题满分12分） 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线的两个交点为，为抛物线上异于的一点，直线与直线交于两点．①；② ，其中分别是直线的斜率；③ ，其中为抛物线的焦点． 请从①②③中任选一个，证明其结果为定值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) （2）若，求实数的值． 22．（本题满分12分） 已知函数，，其中为实数． （1）求证：当时，； （2）若，求最小的整数的值． 高三第二次适应性考试 数学参考答案 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）． 1．D 2. C 3. A 4.A 5.B 6.C 7. A 8.D 三、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. B C 10. ACD 11. ABD 12. AC 三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）. 13．155 14.形如的都对 15．82 16． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分） 解：（1）由得， 由得当时，，两式相减得 ， …………………………………………2分 即，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列．………………………5分 （2）由（1）知，所以； 由得 ． …………………………………………10分 18．（本题满分12分） 解（1）由得，……3分 所以当时，角取得最小值．………………………………………6分 （2）当时，， 由得， 所， ………………………………9分 所．……………………12分 20． （本题满分12分） 解：（1）由数据可得，， ， ……………………6分 因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系； ……………………7分 （2）， ……………………9分 所以关于的回归方程为：． ……………………12分 20．（本题满分12分） 解：（1）在四棱锥中，平面平面，， ，平面平面， 所以，又， 所以平面 平面； ……………………4分 （2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，设，则，由， ，，， 则 ，，， ，，所以， ……………………5分 设平面的法向量为，由，得： ，可取 ……………………8分 设直线与平面所成角为， 则有：，， 即：,化简得：，……10分 解得或，即. ……………………12分 22． （本题满分12分） 解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得， 所以，，，.………………2分 ①. ………………5分 ②. ……………5分 ③. ……………5分 （2）设，则，所以， 即， 令，则，同理：， ……………8分 所以， 所以， 所以， 又，所以， 由点的任意性知，且，所以．……………12分 22．（本题满分12分） 解：（1） 当时，，则在上单调递减， 所以; ……………4分 （2）当时，记， 记， 所以， 则在上单调递增， 所以当时，，， 所以当时， 即，所以在上单调递减， 所以，当时，，与矛盾， ……………8分 当时，，，矛盾， 当时，记， ，则在上单调递增， 所以当时，，， ， 结合（1）得最小的整数的值为． ……………12分 高三数学 第14页 共8页