微分几何-数学与统计学院-深圳大学

陈冬梅：微分几何课程教学大纲深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲课程教学大纲（2006 年 10 月重印版）课程编号课程编号课程名称课程名称微分几何课程类别课程类别综合选修教材名称教材名称微分几何制制 订订 人人陈冬梅审审 核核 人人杨和平20052005 年年 4 4 月修订月修订-193-陈冬梅：微分几何课程教学大纲一、课程设计的指导思想一、课程设计的指导思想（一）课程性质1课程类别：综合选修课2适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）3开设学期：4学时安排：周学时 4，总学时 725学分分配：4 学分（二）开设目的微分几何是一门历史悠久的学科，它对数学中其它分支的影响越来越深刻，对自然科学中其它学科的影响范围也越来越扩大，例如在机械工程、力学、引力理论及理论物理等其它领域都有广泛应用。微分几何课的目的是使学生学好作为数学基础的微分几何课，提高学生在几何方面的理论水平和综合应用能力，为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面，通过本课程的学习，提高学生的数学素养，扩大学生的数学知识面。（三）基本要求掌握经典微分几何中曲线论与曲面论的基本知识，培养直观能力，以及应用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，深刻理解微分几何研究中所涉及的各种数学思想，充分体会对于一种数学对象从多种不同角度去认识、去理解、去研究的意义与价值。（四）主要内容三维欧氏空间中经典的曲线和曲面的几何理论和曲面的内蕴几何学。（五）先修课程数学分析、空间解析几何（六）后继课程微分流形，黎曼几何等有关研究生课程等（七）考核方式闭卷考试（八）使用教材梅向明,黄敬之编：微分几何，北京：高等教育出版社，2003 年第三版.（九）参考书目（1）彭家贵,陈卿编微分几何，北京：高等教育出版社，2002 年.（2）苏步青等编微分几何，北京：高等教育出版社，1980 年.（3）Manfredo P.do Carmo 著,田畴,忻元龙,姜国英,彭家贵,潘养廉译,胡和生,姜国英校曲线与曲面的微分几何，北京：机械工业出版社，2005 年第 1 版.-194-陈冬梅：微分几何课程教学大纲（4）Wilhelm Klingenberg编 David Hoffman译A Course in Differential Geometry，北京：世界图书出版公司，2001 年.（5）陈维桓编微分几何，北京：北京大学出版社，2006 年.二、教学内容二、教学内容-195-陈冬梅：微分几何课程教学大纲第一章 向量函数教学目的引入向量函数的定义，并使学生掌握向量分析的有关概念，为曲线论和曲面论的展开打下基础。主要内容第一节 向量函数的极限第二节 向量函数的连续性第三节 向量函数的微商第四节 向量函数的泰勒(Taylor)公式第五节 向量函数的积分教学要求掌握：向量函数的极限、连续、微分及积分的概念；向量函数的微积分运算；向量函数具有固定长的充要条件。第二章 曲线的概念教学目的引入参数曲线，切向量，切线，正则参数曲线，参数变换的有关概念，使学生掌握正则曲线能选取弧长作为参数，体会参数是弧长参数的便利。主要内容第一节 曲线的概念第二节 光滑曲线 曲线的正常点第三节 曲线的切线和法面第四节 曲线的弧长 自然参数教学要求了解：切线、法面的几何意义。掌握：曲线的基本概念；切线和法面的求法；曲线弧长的计算；自然参数的引进。第三章 空间曲线教学目的具体了解刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量，以及找出决定空间曲线在一点邻近形状的的条件。主要内容第一节 空间曲线的密切平面第二节 空间曲线的基本三棱形第三节 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式-196-陈冬梅：微分几何课程教学大纲第四节 空间曲线在一点邻近的结构第五节 空间曲线论的基本定理第六节 一般螺线教学要求理解：空间曲线论的基本定理。掌握：曲线的密切面、基本三棱形、曲率、挠率等概念及其求法；Frenet 公式的用法；曲线在一点邻近的结构。第四章 曲面的概念教学目的引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。主要内容第一节 简单曲面及其参数表示第二节 光滑曲面 曲面的切平面和法线第三节 曲面上的曲线族和曲线网教学要求掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。第五章 曲面的第一基本形式教学目的理解曲面各种不同的描述形式，充分体会曲面的第一基本形式是刻画曲面的内蕴性质的。主要内容第一节 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长第二节 曲面上两方向的交角第三节 正交曲线族和正交轨线第四节 曲面域的面积第五节 等距变换第六节 保角变换教学要求理解：第一基本形式的几何意义。掌握：曲面的第一基本形式的，曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算；等距（角）变换。-197-陈冬梅：微分几何课程教学大纲第六章 曲面的第二基本形式教学目的使学生具体了解第二基本形式的在研究曲面在空间中的弯曲性时所发挥的作用。主要内容第一节 曲面的第二基本形式第二节 曲面上曲线的曲率第三节 杜邦(Dupin)指标线第四节 曲面的渐进方向和共轭方向第五节 曲面的主方向和曲率线第六节 曲面的主曲率、高斯(Gauss)曲率和平均曲率第七节 曲面在一点邻近的结构第八节 高斯曲率的几何意义教学要求领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率等的意义。掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss 曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。第七章 直纹面和可展曲面教学目的使学生进一步了解曲线论和曲面论内容和思想，与其于实际问题中的灵活应用。主要内容第一节 直纹面第二节 可展曲面教学要求了解：包络线（面）的求法。理解：直纹面和可展曲面的判定定理。掌握：直纹面和可展曲面的定义与基本特征。第八章 曲面论的基本定理教学目的理解曲面论唯一性定理，从而了解曲面第一基本形式和第二基本形式的重要性。主要内容-198-陈冬梅：微分几何课程教学大纲第一节 曲面的基本方程和克里斯托费尔(Christoffel)符号第二节 曲面的黎曼(Riemann)曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳洱迪(Gauss-Codazzi-Mainardi)公式第三节 曲面论的基本定理教学要求理解：理解曲面论基本定理的内容及相关概念。第九章 曲面上的测地线教学目的理解测地线的几何意义，重要性及其内在性质。主要内容第一节 曲面上曲线的测地曲率第二节 曲面上的测地线第三节 曲面上的半测地坐标网第四节 曲面上测地线的短程性第五节 高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公式第六节 曲面上向量的平行移动基本要求理解：测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义。掌握：Gauss-Bonnet 公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。第十章 常高斯曲率的曲面教学目的了解常高斯曲率的曲面的特点主要内容第一节 常高斯曲率的曲面第二节 伪球面第三节 罗氏几何基本要求了解：罗氏几何学的思想。掌握：掌握常 Gauss 曲率曲面的求法。注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。-199-陈冬梅：微分几何课程教学大纲三、三、课时分配及其它课时分配及其它（一）课时分配课时分配课程总教学时数为 72 学时，每周 4 学时，上课 18 周。具体分配如下：第一章 向量函数4 学时第二章 曲线的概念4 学时第三章 空间曲线12 学时第四章 曲面的概念4 学时第五章 曲面的第一基本形式8 学时第六章 曲面的第二基本形式12 学时第七章 直纹面和可展曲面6 学时第八章 曲面论的基本定理8 学时第九章 曲面上的测地线10 学时第十章 常高斯曲率的曲面4 学时如果总课时数少于 70，可以只讲授第一至第八章。（二）考核要求考核要求1.成绩评价平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占 70%。2命题说明题型应多样化，设计适当的开放性问题。基本题(主要考查学生对微分几何基本概念、理论与方法的一般理解）、计算题(主要考查学生对微分几何基本方法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对微分几何基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约 1/3。难易比例控制在 15难、50适中、35易之间。涉及教材章的100，节的85，知识点的 70左右。试卷末设置难度系数在0.70.9、分值为 30 分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。试卷采用A、B 卷。-200-陈冬梅：微分几何课程教学大纲深圳大学数学与计算科学学院200-200学年第学期期末考试卷课程微分几何年级姓名成绩一、判断题（每小题 2 分，共 6 分）（）1.曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线。（）2.曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L N 0。（）3.一个曲面为可展曲面的充要条件为单参数曲面族的包络。二、填空题（每空 2 分，共 20 分）1.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是。2.曲面上圆点的第一、第二类基本量满足关系。3.曲面上一条曲线的曲率k、法曲率kn、测地曲率kg的关系是。4.可展曲面只有柱面、某一曲线的切线曲面三种。5.曲线r(t)(3cosh2t,3sinh2t,6t)在0 t 之间的弧长为。三、问答题：（每小题 4 分，共 8 分）1.设两条曲线的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线总是互相平行，试问它们在对应点的切线有什么关系?说明理由。四、计算题（三题任选二题，每题15 分，共 30 分）1.计算悬链面r coshucosv,coshusinv,u的第一、第二类基本量。五、证明题（四题任选三题，每题12 分，共 36 分）附加题 以综合性证明题为主，试题采用阶梯式，难度由浅入深。注：写明各学期教学总时数及各周学时数。注：写明各学期教学总时数及各周学时数。-201-