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2022年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案

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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案 2022年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案一、选择题（每题6分，共48分） 1.已知集合M?1,2,3,?10?，A是M的子集，且A中各元素的和为8，那么得志条件的子集A共有（） A8个 B7个 C 6个 D5个答案：C 解：元素和为8的子集A有：?8?,?1,7?,?2,6?,?3,5?,?1,2,5?,?1,3,4?，共6个 ?3x?y?0?2.在平面直角坐标系中，不等式组?x?3y?2?0表示的平面区域的面积是（） ?y?0?A 3 B3 C2 D23 2答案：B 解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别 1?2?3?3. 2?b3.设a,b,c是同一平面内的三个单位向量，且a?b，那么c?a?c?的最大值是（）是A?2,0?,O?0,0?,B1,3.易知，AOB的面积S?A1?2 B1?2 C2 D1 答案：A ?解：方法1：由于a?b,a?b?c?1，全体a?b?0,a?b?2. ?设向量c与a?b的夹角为?，那么 ?2?c?a?c?b?

2、c?c?a?b?a?b ?2?c?c?a?bcos?1?2cos?1?2,?当且仅当cos?1，即?时，等号成立 ?故c?a?c?b的最大值为1?2. ?方法2：依题意，不妨设a?1,0?,b?0,1?,c?cos?,sin?，那么 ?c?a?c?b?cos?1?cos?sin?sin?1?cos?sin?cos?sin?1?2sin?.4?22 ?故当sin?1时，c?a?c?b取得最大值，最大值为1?2. 4?4.从1,2,?,20这20个数中，任取3个不同的数，那么这3个数构成等差数列的概率为（） A 1133 B C D 5101938答案：D 3解：从这20个数中任取3个数，不同的取法共有C20?1140种若取出的3 个数a,b,c成等差数列，那么a?c?2b，所以a、c同为奇数，或同为偶数，且a、c确定后，b随之而定 22C10?C103故所求的概率为p?. 3C20385.A,B是抛物线y?3?x2上关于直线x?y?0对称的相异两点，那么AB等于（） A3 B4 C32 D42 答案：C 解：方法1：由于点A、B关于直线x?y?0对称，所以kAB?1. 2设直线AB

3、的方程为y?x?b，代入y?3?x，得x?x?b?3?0. 2由?1?4?b?3?0，得b?13. 4x1?x21?.从而，22设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB的中点为M?x0,y0?，那么x0?1y0?x0?b?b?. 2又点M?,b?1?2111?b?0,即b?1. x?y?0在直线上，所以?222?2将b?1代入，得x?x?2?0解得x1?2,x2?1. 所以A?2,?1?,B?1,2?.故AB?32. 6.如图，在棱长为1的正周围体ABCD中，G为BCD的重心，M是线段AG的中点，那么四棱锥M-BCD的外接球的外观积为（） A? B 366? C? D? 248AMBGC解：如图，连结BG由于G为正BCD的重心，所以AG?平面BCD，从而 D AMBGC 而AG?BG.在RtAGB中，AB?1,BG?D 233?，那么 323AG?AB2?BG2?616.于是，MG?AG?.在RtMGB中，32622.从而MC?MB?.所以MB2?MC2?12?BC2.所以 22MB?MG2?BG2?MB?MC.同理MC?MD,MD?MB.所以三棱锥M-BCD的外接球的直径等于以

4、MB、MC、BD为棱的正方体的对角线的长设三棱锥M-BCD的外接球半径为R，那么 2R?3MB?36.故外接球的外观积S?4?R2?. 227.设函数f?x?x3?ax2?bx?c（a,b,c均为非零整数）若f?a?a3,f?b?b3，那么c的值是（） A?16 B?4 C16 答案：D 解：设g?x?f?x?x3?ax2?bx?c，那么由f?a?a3,f?b?b3，得g?a?g?b?0. 所以a、b为方程g?x?0的两个根，那么a?b?bc,ab?. aaa41?a2?1?a?1?. 消去b，得c?a?1a?1由于c为整数，所以a?1?1，即a?0（舍去）或a?2故c?16. 8.设非负实数a,b,c得志ab?bc?ca?a?b?c?0，那么（） A2 B3 C3 D22 答案：A 解：不妨设a?b?c，由均值不等式，得 ab?bc?ca的最小值为 ?a?b?c?ab?bc?ca? ?a?b?ab?b?c?bc?c?a?ca?cab?abc?bca?a?b?ab?b?c?bc?c?a?ca?2ab?ab?2bc?bc?2ca?ca?2?ab?bc?ca?当且仅当c?0且a?b时

5、，等号成立又ab?bc?ca?a?b?c?0，所以ab?bc?ca?2. 由c?0,a?b,ab?bc?ca?a?b?c，得a?b?2,c?0. 故当a、b、c中有两个为2，一个为0时，ab?bc?ca取得最小值2. 二、填空题（每题8分，共32分） 9.设数列?an?中，a4?1,a11?9，且任意连续三项的和都是15，那么a2022? 答案：5 解：依题意，对任意n?N?，an?an?1?an?2?an?1?an?2?an?3?15. 所以，an?3?an. 从而，a1?a4?1,a2?a11?9,a3?15?a1?a2?5. 故a2022?a3?672?a3?5. 10.设m,n均为正整数，且得志24m?n，那么m的最小值是答案：54. 解：由n?24m?2?3?m，得m的最小值为2?3?54. 11.设f?x?、g?x?分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f?x?g?x?2x，若对 4334x?1,2?，不等式af?x?g?2x?0恒成立，那么实数a的取值范围是答案：?17?,?. ?6?x解：由于f?x?g?x?2. 所以f?x?g?x?2,即?f?x?g?x?2. ?x?x2x?2?x2x?2?x,h?x?. 由、得g?x?22x?x?22x?2?2x?0. 由af?x?g?2x?0，得a2?2?令t?2?2x?x，那么由x?1,2?，得t?,?315?2x?2x22?2?t?2. ，且?24?所以由得?a?t?2?315?对t?,?恒成立 t?24?由于函数t?2?315?317?2?在?,?上单调递增，所以当t?时，?t?. t?24?2?t?min6所以?a?1717，即a?. 6612.设x?R，那么函数f?x?2x?1?3x?2?4x?3?5x?4的最小值为答案：1 解： 6

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