初中数学各种公式完整版)
9页1、数学各种公式及性质1 乘法与因式分解(ab)( ab) a2b2;(ab)2a22abb2;(ab)( a2abb2) a3b3;(ab)( a2abb2) a3b3;a2b2( ab)22ab;( ab)2( ab)24ab。2 幂的运算性质amanam+n;amanam-n;(am)namn;(ab)nanbn;(ab)nnnab;a-n1na,特别: ()-n()n;a01(a0)。3 二次根式()2a( a0);丨a丨;( a0,b0)。4 三角不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b|(定理);加强条件: |a|-|b| |a b| |a|+|b|也成立,这个不等式也可称为向量的三角不等式(其中 a,b 分别为向量 a 和向量 b)|a+b| |a|+|b|;|a- b| |a|+|b|;|a| b- bab ;|a- b| |a| -|b| ;- |a| a|a| ;5 某些数列前 n 项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +n=n(n+1)/2 ;1+3+5+7+9+11+13+15+ +(2n-1)=n2;2+4+6+8+10+12+14+ +(2n)=n(
2、n+1) ;12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6;13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 ;1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6* 7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3;6 一元二次方程对于方程: ax2bxc0:求根公式 是x242bbaca,其中 b24ac叫做根的判别式。当0时,方程有两个不相等的实数根;当0时,方程有两个相等的实数根;当0时,方程没有实数根注意:当0时,方程有实数根。若方程有两个实数根x1和x2,则二次三项式ax2bxc可分解为 a( xx1)( xx2) 。以a和b为根的一元二次方程是x2( ab) xab0。7 一次函数一次函数 ykxb( k0)的图象是一条直线 ( b是直线与 y轴的交点的纵坐标,称为截距)。当k0时,y随x的增大而增大 ( 直线从左向右上升 ) ;当k0时,y随x的增大而减小 ( 直线从左向右下降 ) ;特别地:当b0时,ykx( k0)又叫做正比例函数 (y与x成正比例 ) ,图象必过原点。8 反比例函数反比例函数 y (k0)的图象叫做双曲线。当k0
3、时,双曲线在一、三象限 ( 在每一象限内,从左向右降);当k0时,双曲线在二、四象限 ( 在每一象限内,从左向右上升) 。9二次函数(1). 定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么 y 叫做x的二次函数。(2). 抛物线的三要素: 开口方向、对称轴、顶点。a的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。平行于 y 轴(或重合)的直线记作hx. 特别地, y 轴记作直线0 x。(3). 几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当0a时开口向上当0a时0 x( y 轴)(0,0 )0 x( y 轴)(0, k ) ( h ,0) 开口向下( h, k ) (abacab4422,) (4). 求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法:abacabxacbxaxy442222,顶点是),(abacab4422,对称轴是直线abx2。配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为( h, k ),对称轴是直线hx。运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对
4、称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点12(, ) (, )、xyxy(及 y 值相同) , 则对称轴方程可以表示为:122xxx(5). 抛物线cbxaxy2中,cba,的作用a决定开口方向及开口大小,这与2axy中的a完全一样。b 和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线。abx2,故:0b时,对称轴为 y 轴;0ab(即a、b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧; 0ab(即a、 b 异号)时,对称轴在y 轴右侧。c的大小决定抛物线cbxaxy2与 y 轴交点的位置。当0 x时,cy,抛物线cbxaxy2与 y 轴有且只有一个交点( 0,c) :0c,抛物线经过原点 ; 0c, 与 y 轴交于正半轴; 0c, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0ab。(6). 用待定系数法求二次函数的解析式一般式:cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、 y 的值,通常选择一般式 . 顶点式:khxay2. 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、
5、2x,通常选用交点式:21xxxxay。(7). 直线与抛物线的交点 y 轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0,c)。抛物线与x轴的交点。二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x,是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:a 有两个交点(0)抛物线与x轴相交;b 有一个交点(顶点在x轴上)(0)抛物线与x轴相切;c 没有交点(0)抛物线与x轴相离。平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,则横坐标是kcbxax2的两个实数根。一次函数0knkxy的图像 l 与二次函数02acbxaxy的图像 G 的交点,由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定:a 方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点;b 方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点;c 方程组无解时l 与G 没有交点。 抛物 线 与x轴 两 交 点 之 间的 距离 : 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴 两 交 点 为0021,
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