大学生数学竞赛基本信息

1、中国大学生数学竞赛2009年，中国大学生数学竞赛（通称为“企国大学生数学竞赛”）开始举办。作为一项面向 Jsli生的全国性商水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本 功和数学思维的舞台，为发现和选拔优秀数学人才并进一步促进高等学校数学课程建设的改 革和发展积累了调研素材。历届情况第一届2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该 比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学 习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。第二届2011年3月，历吋十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自 北京、上痙、避、甫庆等26个省（区、市）数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29 人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人， 己成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。竞赛用书该比赛指导用书为大学生数学竞赛指导，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织 编写，已经由清华大学出版社出版。竞赛大纲人学生数学竞赛竞赛大纲（2009年首届全国人学生数学竞赛）为了

2、进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激 励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“大学生数学竞赛” 的目标，特制订本大纲。竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励人学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数 学课程的改革和建设，提尚大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。竞赛的P、J容“大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛A容为大学本科数学专业基础课的教 学内容，B卩，数学分析占50%，高等代数占35%，解析儿何占15%，具体內容如下：I、数学分析部分集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定 星、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定 理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其儿何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，

3、反函数存在性定 理，初等函数以及与之相关的性质.极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系）, 极限及其应用.3. 元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、 迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各 种方法，无穷小S与无穷大S、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极 限概念、基木性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集 上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.一元函数微分学1. 导数及其儿何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其儿何意义、可微 与可导的关系、一阶微分形式不变性.2. 微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式 （Peano 余项与 Lagrange 余项）.

4、3. 元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、血盤 的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近似计算.多元函数微分学1. 偏导数、企微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性, 二元函数中伉定理与Taylor公式.2. 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. 3JL何应用（平而曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平而、曲而的切平而与法线）.4. 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有 理函数积分.型，型.2. 定积分及某儿何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变 上限积分函数、微积分苯本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4. 无限区间上的广义积

5、分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别 法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及苏 收敛性判别法.5. 微元法、儿何应用（平而图形而积、已知截而而积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋 转体体积），其他应用.多元函数积分学1. 二重积分及其儿何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2. 三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3. 重积分的应用（体积、曲而而积、重心、转动惯量等）.4. 含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参广义积分的 一致收敛性及其判别法，含参S广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5. 第一型曲线积分、曲而积分的概念、基本性质、计算.6. 第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平而曲线积分与路径无关的条件.7. 曲而的侧、第二型曲而积分的概念、性质、计算，奥岛公忒、Stoke公式，两类线积分、 两类而积分之间的关系.无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件

6、，收敛级数基本性质；正 项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交 错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判 别法.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、 Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛蚋数列、蚋数项级数的性质及其应用.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积 性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、 Maclaurin 级数.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展幵、Beseel不等式、 Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.II、商等代数部分多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数裉本定理、复

7、系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域 上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行(列)展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维叫量的运算与叫量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程纟JI的墙础解系、解空间及其维数矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵nJ逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6.

8、分块初等矩阵、分块初等变换.双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵线性空间1. 线性空间的定义与简笮性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变挽.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变:W:、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.若当标准形1. 矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.欧氐空间1. 內积和欧氏空间、向fi的长度、夹角与正交、度fi矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.

9、酉空间.III、解析儿何部分向与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、儿何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.轨迹与方程1. 曲而方程的定义：普通方程、参数方程(叫量式与坐标式之间的互化)及其关系.2. 空间血盤方g的普通形式和参数方程形式及其关系.3. 建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4. 球而的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱而方程.平而与空间直线1. 平而方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2. 从决定平而和直线的儿何条件出发，选用适当方法建立平而、直线方程.3. 根据平而和直线的方程，判定平而与平而、直线与直线、平而与直线间的位置关系.4. 根裾平而和直线的方程及点的坐标判定有关点、平而、直线之间的位賈关系、计算他们 之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.二次曲而1. 柱而、锥而、旋转曲而的定义，求柱而、锥而、旋转曲而的方程.2. 椭球而、双曲而与抛物而的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲而的标准方程.3. 单叶双曲而、双曲抛物而的直纹性及求单叶双曲而、双曲抛物而的直母线的方法.4. 根据给定直线族求出它表示的直纹而方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.二次曲线的一般理论1. 二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2. 二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3. 二次曲线的直径、共

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