李子奈课件 一元线性回归模型的统计检验..ppt

2.3 一元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验 二、变量的显著性检验 三、参数的置信区间 说 明 • 回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总 体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体 回归线 • 尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总 体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定 就等于该真值 • 那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值 的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进 行统计检验 • 主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验 及参数的区间估计 一、拟合优度检验 拟合优度检验：：对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验 度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数 ）R2 问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保 证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要 检验拟合程度？ 1、总离差平方和的分解 已知由一组样本观测值（Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下样本回归直线 如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线” 上，则拟合最好 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差 ”无关。

对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均 值离差的平方和,可以证明： TSS=ESS+RSS 记总体平方和（Total Sum of Squares） 回归平方和（Explained Sum of Squares） 残差平方和（Residual Sum of Squares ） Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回归 线(ESS)，另一部分则来自随机势力(RSS) • 在给定样本中，TSS不变， • 如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS 中占的比重越大，因此 • 拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差平方和TSS 2、可决系数R2统计量 称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination) 可决系数的取值范围：[0，1] R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近 ，拟合优度越高 在例2.1.1的收入-消费支出例中， 注：可决系数是一个非负的统计量它也是 随着抽样的不同而不同为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。

0.670 3354955 0.9935 二、变量的显著性检验 回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变 量Y的一个显著性的影响因素 在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具 有显著的线性性影响这就需要进行变量的显著 性检验 变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学 中的假设检验 计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是 否为零来进行显著性检验的 1、假设检验 • 所谓假设检验，就是事先对总体参数或 总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信 息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与 原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或 否定原假设 • 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 先假定原假设正确，然后根据样本信息， 观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断 是否接受原假设 • 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易 发生”这一原理的 2、变量的显著性检验 检验步骤： （1）对总体参数提出假设 H0： 1=0， H1：10 （2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值 （3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t /2(n-2) (4) 比较，判断 若 |t|> t /2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ； 对于一元线性回归方程中的0、1，可构 造如下t统计量进行显著性检验： 在上述收入-消费支出例中，首先计算2的估计值 3354955-0.6702 2734 2734 44.45 t统计量的计算结果分别为： 给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t0|>2.306,表明在95%的置信度下，拒绝截距项 为零的假设。

|t1|>2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度 下显著，即是消费支出的主要解释变量； -142.40/44.453.20 0.670/0.01934.92 关于常数项的显著性检验 • T检验同样可以进行 • 一般不以t检验决定常数项是否保留在模型中 ，而是从经济意义方面分析回归线是否应该通过 原点 假设检验可以通过一次抽样的结果检验总 体参数可能的假设值的范围（如是否为零）， 但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底 离总体参数的真值有多“近” 三、参数的置信区间 要判断样本参数的估计值在多大程度上可 以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通 过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间 ”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真 实的参数值这种方法就是参数检验的置信区 间估计 如果存在这样一个区间，称之为置信区间（ confidence interval）； 1-称为置信系数（置信度） （confidence coefficient）， 称为显著性水平（level of significance）；置信区间的端点称为置信限（ confidence limit）或临界值（critical values）。

一元线性模型中，i (i=0，1）的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道： 意味着，如果给定置信度（1-），从分布表 中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(- t/2, t/2)的概率是(1- )表示为： 即 于是得到:(1-)的置信度下, i的置信区间是 在上述收入-消费支出例中，如果给定 =0.01， 查表得： 由于 于是，1、0的置信区间分别为： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98） 0.01944.45 (0.6056,0.7344) (-6.719,291.52) • 由于置信区间一定程度地给出了样本参数估 计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信 区间越小越好 • 要缩小置信区间，需要 –（1）增大样本容量n因为在同样的 置信水平下，n越大，t分布表中的临界值 越小；同时，增大样本容量，还可使样本 参数估计量的标准差减小； （2）提高模型的拟合优度因为样本参数估 计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优 度越高，残差平方和应越小 。