(NEW)蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解.pdf

目录 第1章生产技术 第2章利润最大化 第3章成本最小化 第4章消费者行为 第5章消费者理论专题 第6章进一步的消费模型 第7章完全竞争市场 第8章一般均衡 第9章不确定性和个体行为 第10章不确定性下的交换 第11章完全信息博弈 第12章不完全信息博弈 第13章独占市场 第14章静态寡占模型 第15章多阶段寡占竞争 第16章拍卖 第17章市场失效 第18章委托代理理论 第19章逆向选择、道德危险和信 号 第1章生产技术 1两种产品 和 唯一需要的要素投入是劳动 一单位 产品需要的劳动 投入量是8，一单位 产品需要的劳动投入量是1假设可投入的劳动量 总共为48 （1）写出生产可能集 的代数表达式； （2）写出生产（隐）函数； （3）在平面上标示生产边界 解：（1）由题意可知，总量为48，劳动 是两种产品唯一需要的要素投 入，所以有： 因此，生产可能集 的代数表达式为 （2）一单位 产品需要的劳动投入量是8，一单位 产品需要的劳动投 入量是1，所以生产（隐）函数为 （3）由（1）可得，生产可能集 为，如图1-1所 示 图1-1 2试画出Leontief生产函数的等产量线 解：由Leontief生产函数表达式可知，当 时，由此可得到其等产量线如图1-2所示。

图1-2 3对Cobb-Douglas生产函数 （1）证明， （2）求技术替代率 （3）当 或变化时，如何随之变化？ （4）画出等产量曲线 解：（1）已知生产函数，即，所以有： 即得证 （2）在（1）中已经证明，因此，技术替代率为： 在Cobb-Douglas生产函数中，整理得 （3）由（2）可知，技术替代率与 无关，不随 的 变化而变化；而变化时，技术替代率随之等比例变化 （4）已知Cobb-Douglas生产函数的技术替代率 ，就是相应点处等产量曲线切线的斜率它的等产量线如图1-3所 示 图1-3 4对CES生产函数 ， （1）证明边际产出 （2）求技术替代率 （3）当 或变化时，如何随之变化？ （4）证明技术替代弹性 解：（1） 同理可证，因此可得边际产出为 （2）由（1）得，所以，技术替代率 （3）已知技术替代率，所以，当 变化时，保持 不变；当变化时，随之等比例变动 （4）假设，则，那么： 即得证 5证明：CES生产函数在时变为线性函数，在时变为Cobb- Douglas函数，在时变为Leontief生产函数 证明：CES生产函数为 （1）当时，即为线性函数 （2）当时，化简得，两边同时取对数得： 运用洛必达法则求极限： 其中，。

所以，即为Cobb-Douglas函数 （3）当时，同（2）中得： 当时，即 当时，先假设，则，那么： 同理，假设，则 因此，当时，生产函数为，即为Leontief生产函数 6（1）试证明欧拉定理：对任何 次（）齐次生产函数，总有 （2）用生产函数验证欧拉定理 证明：（1）对于 次齐次生产函数，等式两边同时 对 求微分，得 当时，可以得到 （2）生产函数是次齐次函数， ， 所以，即欧拉定理得证 7下列生产函数的规模收益状况如何？ （1）线性函数：，； （2）Leontief生产函数； （3）Cobb-Douglas生产函数； （4）CES生产函数 解：（1）线性生产函数，产量 随要素投入变动同比例变化，规模收益是不变的 （2）Leontief生产函数也是产量随要素投入变动同比例变化，规模收益 是不变的 （3）Cobb-Douglas生产函数，当时，是规 模收益不变的；当时，规模收益是递增的；当时，规模收 益是递减的 （4）同理，CES生产函数，产量随要素投入变动同比例 变化，规模收益是不变的 8证明：（1）对于二元生产函数，替代弹性可以表示为 （2）如果生产函数是一次齐次函数，则有 证明：（1）对于二元生产函数，替代弹性其为。

令，则 将代入生产函数， 令，对 求导得， 解得， 由于，所以： 将代入上式， 从而得， （2）生产函数是一次齐次函数，所以 和都是零次齐次函数， 应用欧拉定理可得：， 于是：， 代入，得到： 即得证 第2章利润最大化 1对于Cobb-Douglas生产函数：， （1）验证：仅在参数条件下，利润最大化问题的二阶条件才能得 到满足； （2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量 ）； （3）求利润函数； （4）验证利润函数是的一次齐次函数； （5）验证Hotelling引理 解：（1）Cobb-Douglas生产函数为，利润最大化的二阶条件是 生产函数的Hessian矩阵是半负定的，即： 中， 且矩阵的行列式非负， 所以， （2）利润最大化问题的一阶必要条件是： ， 所以要素需求函数为， 将要素需求函数代入生产函数，解 得产品供给函数为 （3）利润函数为： 将代入，得： （4）由（3）知，利润函数为： 因此，利润函数是的一次齐次函数 （5）利润函数中， 的幂次为 ，且 其中一部分 从而有， 同理，可验证 2不利用包络定理，证明Hotelling引理 证明：对任何的价格参数，令相应的产品供给和要素 需求分别为和。

现在如果价格变为，而厂商没有相应地调整生 产计划，仍然使用要素投入，它将得到利润为 这当然不一定是厂商此时能获得的最大利润，因为后者是根据价 格对生产计划进行了最适调整后得到的若将这两个利润水平的 差定义为一个新的函数： 已知 假设是价格下的最优要素投入，从而所以，函 数在取得最小值，它必将满足一阶必要条件， 即， 由于为任意可取值，所以Hotelling引理得以证明 3厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为 的产品， 生产函数为，要素1和2的价格分别为和 （1）求厂商的短期可变要素需求； （2）求厂商的短期利润函数 解：（1）厂商的利润函数为，转化为利润最大化问题， 即： 利润最大化的一阶条件为： 解得，这就是厂商的短期可变要素需求 （2）厂商的短期利润函数为： 4某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是 试求该厂商的要素需求和产品供给 解：由题意可得： 将约束方程改写为，代入目标函数，可整理为一个无约束的最 大值问题，其一阶必要条件为 ，解得要素供给函数为，从而得到要素需求 函数为 5一个多产品市场厂商的生产函数是，对其利润最大化问题 （2.32）， （1）写出角点解的一阶必要条件； （2）写出内点解的二阶必要条件。

解：（1）考虑角点解可以列出下列式子： 构造拉格朗日函数： 一阶必要条件：在最优点，存在及，使得： 并且满足 （2）不考虑角点解，构造拉格朗日函数： 内点解的二阶必要条件是：对任何满足的向量 ，满足 6如果一个厂商的技术是规模收益递增的，产品价格和要素价格都保持 不变证明：这个厂商的利润或者是零，或者是无穷大 证明：如果厂商生产技术是规模收益递增的，那么对于任何不为零的要 素组合和，都有 ，从而： 所以，只要存在使得，厂商在投入组合 基础上扩大生产规模 总可以提高利润，而且这种过程可以无休无止地延续下去，最终厂商获 得的利润将是无穷大除非，厂商在任何投入水平 上的利润都是非正 值（角点解），此时厂商只有接受零利润 7假设某厂商以两种投入生产一种产品，生产函数是凹函数； 产品市场和要素市场都是完全竞争的，即是说厂商的行为不改变产品和 要素的价格厂商追求利润最大化，但它资金紧张，可用于购买要素的 钱只有，这样它还受预算约束： （1）在上述预算约束下，推导厂商的最优要素投入条件 （2）假设现存在另一种可选要素3，它与要素2是相互完全替代的（投 入一单位要素2与一单位要素3没有区别）；要素3的价格高于要素2的价 格：，不过厂商使用要素3不受预算约束的限制我们可以想象 要素3的销售商允许赊账。

在什么情况下厂商会使用要素3？试推导此时 厂商对三种要素的最优需求条件 解：（1）厂商面对的问题是： 如果约束是不束紧的，资金 足够厂商购买它达到利润最大化所需的要 素量，问题变为一个无约束的标准利润最大化问题现假设约束是束紧 的，这样问题就演化为一个等式约束问题 构造拉格朗日函数： 利润最大化的一阶必要条件是： 第一个条件可以改写为，代入第二个条件，解得， 再代入第一个条件得， ， （2）在可用资金约束不束紧的情况下，厂商必然不会使用要素3下面 假设该约束是束紧的，由于要素3与要素2是完全替代的，生产函数可以 写为： 厂商此时面对的问题变为： 构造拉格朗日函数： 利润最大化的一阶必要条件是： ， 由此可得到： 从而，厂商对三种要素的最优需求条件分别为： ， 第3章成本最小化 1某厂商具有Leontief生产函数：， （1）求条件要素需求函数和成本函数； （2）画出成本函数曲线 解：（1）在Leontief生产函数中，产量仅是和中较小的一个 值，所以，无论是利润最大化或者是成本最小化问题，厂商的最优投入 必然满足 在此约束下，生产函数可以简单地写为（当然也可以写为 ）从而，对于预先给定的产量 ，条件要素需求是： ， 成本函数：。

（2）厂商的成本函数如图3-1所示 图3-1 2某厂商具有线性生产函数：， （1）求条件要素需求函数和成本函数； （2）画出成本函数曲线 解：（1）成本最小化问题是： 若，条件要素为，成本函数是； 若，条件要素为，成本函数是； 若，最优解可取线段上任一点，在此不妨取 ，所得的成本函数形式上与中一致，取另一端点可得 中的成本函数形式但是在这里的条件下，这二者是等价的 （2）图略 3某厂商具有Cobb-Douglas生产函数：，证明其成 本函数形式为 ，其中 是依赖于 和 的常数 证明：成本最小化问题是： 构造拉格朗日函数 成本最小化的一阶必要条件为： 变形为： 两式相乘得： 从而： 其中 是依赖于 和 的常数代入一阶条件，并利用约束等式，得 到： 从而， 4证明成本函数的性质： （1）是 和 的单增函数； （2）是 的一次齐次函数 证明：（1）任取，记必要投入集，按定义： 只要生产函数是单调的，对任何，必然有，所以 （2）记要素价格为 时的条件要素需求函数为，它满足一阶必要 条件： 等式右边分式的分子分母同乘以正数 等式仍然成立，说明在价格 下，条件要素需求仍然是 所以， 5证明：如果生产函数是凹函数，则成本函数是 的凸函数。

证明：对任何产量 和，记相应成本最小化问题的解（也就是条件要 素需求）分别是和，按定义： ， 对任何，记 由生产函数的凹性得，这意味着 足以生产产量，所以： 即是产量 的凸函数 6证明：对于位似生产函数，规模收益弹性与成本的产量弹性存在关 系： 证明：考虑位似生产函数： 这里，是一次齐次函数根据1.4节的推导，规模收益函数 为： 如果为产出为 时的条件要素需求，它必需满足一阶条件： 其中第二个等式用到了拉格朗日系数的意义：上式两边同乘以 并对 加总，得到 由于是一次齐次函数，由欧拉定理有： 代入的右端，等式左端即为产出 的成本，这 就得到： 根据成本的产量弹性定义，有： 7考虑一个两工厂厂商，其工厂的成本函数分别为 和 （1）什么条件下厂商只使用一个工厂？什么条件下厂商需要两个工厂 同时生产？ （2）推导厂商的成本函数 解：， （1）如果厂商同时使用两个工厂，应当满足； 但是，注意到，而当时， 所以，当时，厂商只会选择在工厂1生产； 当且仅当时，厂商才会同时使用两个工厂 （2）在同时使用两个工厂的情况下，厂商的产量分配满足， 由此解得： ， 此时总成本为： 成本函数为： 8假设一个竞争厂商的成本函数是。

（1）参数 、 和 需要满足什么条件，才是一个典型的成本函 数？ （2）求条件要素需求函数 解：（1）根据成本函数的性质，典型的成本函数应当是 和 的单 增函数，是 的一次齐次函数，同时还是 的凹函数据此，必然要求 ， 在这两个条件下，=为 凹函数的条件自动成立（可检查 海赛矩阵主子式的符号。