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弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info1第一章 绪 论§§1-1 弹性力学的内容，学习方法和地位作用弹性力学的内容，学习方法和地位作用弹性力学研究弹性体由于受外力作用，边界约束或温度改变等原因而发生的应力，应变和位移材料力学是基于平面假设的微段分析法弹性力学应用高数，将弹性体划分为微元，研究其平 衡方程，变形几何方程、协调方程，边界条件，物理方程，求解得到应力、应变和位移是深 入进行工程结构研究、设计、建造和管理必备的力学基础§§1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念体力：分布于物体体积内（单位体积内的力） 面力：分布于物体表面（单位面积上的力） 线应变：ε=ΔL/L,单位长度线段的伸缩，以拉为正（常用单位：微应变 με） 剪（切）应变：二线段间直角的改变（本书以应变减小为正）§§1-3 弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定（1）连续性——致密无空隙的连续体 （2 均匀性——如混凝土，只要每种材料颗粒远小 于物体且在物体内均布，也可认为均匀的（3）各向同性——各方向力学性质相同但研究方法 和结果可推广运用于层状弹性体等 （4）完全弹性——应力和应变成正比，服从胡克定律。

（5）小变形条件——可按照变形前的尺寸建立平衡条件可略去高阶微量而得到一系列方程， 叠加原理适用第二章 平面问题的基本理论§§2-1 平面应力问题与平面应变问题（图平面应力问题与平面应变问题（图 2-1,图图 2-2））一、平面应力问题：平板中面内受力问题，板面上无外力且板较薄，可认为 0z-弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info200000Cxyyxyxx xxyxy yyMFfxyFfyx().1.1 ().1.1.10().1.1 ().1.1.10yxx xxyxyxxyxy yyxyxyydx dydydy dxdxf dxdyxydy dxdxdx dydyf dxdyyx仅有 xy 面内的三个应力,平面应力问题因此得名0zxzyxyxyyx  二、平面应变问题：沿轴向平行于横截面的荷载、约束无变化的无限长柱体问题1）横截面都是对称面，没有方向位移z（2）横截面间的距离不变，所以，平面应变问题因此而得名（一般）0z0z（3）由对称条件及剪应力互等定理。

由上述三点，平面应变问00zxxzzyyz题也可取厚变为 1 单位的薄片来研究§§2-2 平衡微分方程（图平衡微分方程（图 2-3））用平行于坐标轴的一组平面截取单元体，取任一点 C 的单元体研究其平衡得：（剪应力互等定律）（平衡微分方程）导出上述方程的平衡方程的展开式：().1..1.().1..1.02222xcyyx xyxyyxyxdxdxdydydx dydydy dxdxxy§§2-4 1.几何方程（图几何方程（图 2-5））[P 点 x 方向线应变 εx，，y方向线应变 εy,剪应变γxy] 2. 相容方程（协调方程，变形连续方程）相容方程（协调方程，变形连续方程）不是独立的，必须满足下列相容方程，才能保证几何方程求得的位移客观存xyxyuv在几何方程中分别对和求二阶导数即得：xyyx() []xuudxuux xdx() []yvvdyvvy ydy2()()2[]xyuvudyuvdxvvuyx xydxdy-弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info3222332222yxyxuv yxx yy xx y   §§2-5 物理方程（广义胡克定律）物理方程（广义胡克定律）三个弹性常数间关系：2(1)EG（2-10）1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE     111xyxyyzyzzxzxGGG对平面应力问题代入上式：0z（2-12） 用应变表示应力：并写成矩阵形式：1()1()2(1)xxyxyxxyxyEEE  （2-222()1()1 1.12xxyxyxxyxyEEE   210 1011002xxyyxyxyE  13）简写为[]=[D][] 式中弹性矩阵  2101011002ED  2、对平面应变问题：由 代入得：0z()zxy 式中1 11 1111()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE     121EE11-弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info4()()xyxxxyxyyylmpfmlpf可见：在平面应力问题的物理方程中，用代替，用代替，即得平面应变21E E1 问题的物理方程。

§§2-6 边界条件（图边界条件（图 2-4））1 应力边界条件：应力边界条件：由面力边界的微元平衡得出由面力边界的微元平衡得出(斜截面应力状态由内部三角形体平衡得出)设微元斜边长，各面力分量法线dsxfyf方向余弦 nlxn),cos(myn),cos(0xF 1..02xxyxxp dsldsmdsflds mds0yF 102yyxyyp dsmdsldsflds mds2 位移边界条件   uu  vv3 混合边界条件有二：①一部分边界已知位移部分边界已知面力；②同一边界上某方向已知位移另方向已知面力§§2-7 圣维南原理圣维南原理 当外力等效变换，近处的应力分布有显着改变，而远处的影响可不计据此据此 S 次要边界 S 上精确边界条件（难以满足）: ( ) ()( )xxxysysfyfy可用下述近似边界条件代替近似边界条件代替（容易满足） ：边界面力: ()( )xxsssdyfy dy().( ).xxsssdy yfy dy y()( )xyysssdyfy dy边界集中力: ()xNssdyF().xssdy yM()xySssdyF§§2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 以位移为基本未知量，满足平衡方程、应力边界条件和位uv移边界条件，解出后用几何方程求应变（相容方程自然满足） ，再用物理方程求应力。

uv(2-3) (2-15)-弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info5几何物理方程代入平衡方程 （2-22222222222211()0122211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y    18）几何物理方程代入应力边界条件(在上)（2-221()()121()()12xyEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxys19）例：图示杆件自重 fy=ρg,设泊松比 μ=0，u=0，试用位移法解解由基本方程（2—18）Eg dyvd22积分得 再积分'gvyAE 2 2gvyAyBE 由边界条件（2—19）第一式：0=0；第二式中 y=h 得: 则 A=0 yvEhEg由已知位移边界条件：（V）Y=0=0 得出 B=0代入有yEghyEgv2 2再由几何方程得EghyEg yv y由物理方程得： ghgyg§§2-9 按应力求解平面问题（假设全部为应力边界条件）：按应力求解平面问题（假设全部为应力边界条件）： 必须满足平衡方xyyx程，应力边界条件和相容方程，再用物理方程求应变，几何方程求位移。

（多联域中还须满足位移单值条件）胡克定律代入相容方程，平衡方程求导后相加代入相容方程中消去含项，得应力表示的xy相容方程：（2-21）222()()(1)()xyfxfy xyxy §§2-10 常体力时按应力求解平面问题艾里应力函数常体力时按应力求解平面问题艾里应力函数-弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info6常体力时相容方程成为或写成 (2-23)2222()()0xyxy2()0xy平衡方程解=特解+齐次通解特解： 或 0xyyxyyxx yfxfyfxf0»ò00xxxyyyxyxyxyf xf yf yf x    齐次方程通介 则必有00xyxyxyxyyxxyA y B xxyxyA x B y AyBx 那未齐次通介 (k)22xy22yx2xyx y  平衡方程全解： （2-24）22xxf xy22yyf yx2xyx y  2 （2-24）代入相容方程（2-23）或或 （2-25）2222222()()0xyxy444422420xxyy40常体力时应力解法：应力函数满足相容方程（2-25） ，力边界条件（2-15） ，多连体中须满足位移单值条件，再由（2-24）求应力，物理方程求应变，几何方程求位移。

第三章 平面问题的直角坐标解答§§3-1 1、逆解法：、逆解法：若取艾里应力函数则满足但 bax 400x0y0xy223ÔòÔòÔòÔòaxbxycyay4444Âú×ã 0Âú×ã 0Âú×ã 0Âú×ã 0ÓÐ0ÓÐ0ÓÐÓÐ6xxxxcay2000yyyya000xyxyxyxyb 叠加可求更复杂问题可求介矩形板 y 方向均布拉力问题可求介矩形板均布剪力问题可求介矩形板 x 方向均布拉力问题可求介矩形板纯弯曲问题-弹性力学指导书(东大)学府信息论坛 免费下载资源 Xuefu.info7图 3-1 例§3-2 §3-3 2 、、半逆解法：根据弹性体的边界形状和受力情况，假设若干应力的函数形式，由相容方程求解表达式，再求应力分量，用边界条件确定系数（多连体还要满足位移单值条件）若某边界条件不能满足，要重新求解确定应力的形式常用下列三种方法： ①由主要边界的荷载，确定部分分量的形式如§3-4 ②对楔形物体，由量纲分析推出应力和坐标的因次关系如§3-5③由材力知识确定部分应力分量。

如习题 3-5（有时要修正以满足）40  第四章 平面问题的极坐标解答§§4-1 极坐标中的平衡方程（图极坐标中的平衡方程（图。