高等数学：6-4二阶常系数线性微分方程.ppt

二阶常系数线性微分方程 6.4 一、二阶常系数齐次线性方程解的结构 第十二章 二、二阶常系数齐次线性方程解的结构 二阶常系数线性微分方程，它的一般形式是其中p，q为常数，f (x)为已知函数. 当方程右端f (x)=0时，方程 称为二阶常系数齐次线性微分方程， 否则称为非齐次的. 证毕一、二阶常系数齐次线性方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理1.不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则原因是 下面有定理2： 说明:是二阶线性齐次方程的两个解且y1(x)/y2(x)常数, 数) 是该齐次方程的通解.例如, 方程有特解且常数, 故方程的通解为则若 等于常数， 我们称函数 线性相关，否则称为线性无关定理 2.是二阶非齐次线性方程的两个解, 是该它对应的齐次方程证明 因为则定理 3.的解.所以基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法 和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根.对于二阶常系数齐次线性方程 特征方程时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解可以证明 也是方程 的一个解， 且与因此原方程的通解为线性无关，2. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:是原方程的线性无关特解， 因此原方程的通解为可以证明3. 当特征方程小结:特征方程:实根 特 征 根通 解的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例1.4例3 求方程 的通解 解从特征方程 得出 此时 故方程的通解为 内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为三、二阶常系数非齐次线性方程解的结构 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是其中p，q为常数，f (x) 0.我们称方程 为原方程对应的齐次方程 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.则是该非齐次方程的通解 .证: 将代入方程左端, 得定理 4.是对应齐次方程的 二个线性无关特解, 给定 二阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .定理 5.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理5, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 常数, 证明该方程的通解是 设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例3.证明:因为都是对应齐次方程现证明二者线性无关 ，令 的解。

线性无关 例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 四、两种特殊形式的非齐次方程的特解 12A, B,为常数二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法一、 为实数 ,可以证明方程(1)的特解具有形式是一个与 Pn(x)为 n 次多项式 .其中具有相同次数的多项式， k的取值分下面三种情况： (1) 当不是特征方程的根时，取k=0;(2) 当是特征方程的根，但不是重根时，取k=1; (3) 当是特征方程的重根时，取k=2. 的通解.解:易求 的特征方程=0不是特征方程的根，设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是方程特解为的特征根为本题取=0.故取k=0.例1.而该方程所对应的齐次的通解为故原方程的通解为 的通解. 解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为本题取k=1例2.二、其中A、B、是常数， 此时， 方程可以写成 可以证明方程的特解具有形式其中 是待定的常数，k是一个整数 k的取值分下面两种情况：(1) 当 不是特征方程的根时，取k=0;； (2) 当 是特征方程的根时，取k=1.例3 求方程 的通解 解易求 的通解为 由于在原方程中故 又因为 不是特征方程 的根， 所以k=0， 原方程的特解可设为 代入原方程，得比较上式两边的同类项，得解得 原方程的通解为 的通解. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 , 故取k=1, 设原方程特解为例4.内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为不是或为特征方程的单 根时，k (0或1 ), 则设特解为。