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研究易错点把握重难点二次函数y=ax2^+bx+c (a、b、c是常数，且a#0)是描 述现实世界变量之间的关系的重要数学模型，其图象和性质 都比一次函数和反比例函数复杂，二次函数与一元二次方程 联系紧密，相关的计算量也较大，特别是二次函数的应用更 加广泛和灵活多变，因此本章的学习有一定难度，同学们常 常会在以下方面出现错误.对二次函数概念的理解不到位例1函数y= (m+2) xH+2x-l是二次函数，则m=?摇？ 摇？摇？摇.错误解答？摇由m2-2=2，得m=2，所以当m=2时，函数y= (m+2) x+2x-l是二次函数. 正确解答函数y= (m+2) xH+2x-l是二次函数，所以m2_2=2 且 m+2 矣0.由m2-2=2，得m=2，由m+2乒0得m乒_2，所以m=2. 点评一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a#0) 的函数称为二次函数，其中二次项系数a^O是经常考查的 知识点，这是一个隐含条件，务必牢记.二次函数平移后的函数关系式易写错 例2将二次函数y=_^x2的图象向左平移4个单位可得函数？摇？摇？摇？摇的图象.错误解答y=-H (x-4) ■. 正确解答y=~B (x+4) ■.点评1.二次函数图象的上下平移较简单，二次函数 y=a (x-h) 2+k向上平移m个单位得y=a (x-h)国+1<+111，向 下平移m个单位得y=a (x-h) B+k-m.二次函数图象的左右 平移后的关系式易出错，结论常常会写反了，上例错解即是 此类错误，实际上二次函数y=a (x-h)国+k向左平移n个 单位为y=a (x-h+n) 国+k，向右平移n个单位为y=a (x-h-n) ■ +k.2.在平移图象时，图象上面所有点都作同样的平移， 因此研究二次函数图象平移时，由它的顶点平移情况来进行 判断会比较简单.如本例y=-^x2的顶点为(0, 0)，图象向 左平移4个单位，则新的顶点坐标为(-4, 0)，因此向左平移4个单位后的函数关系式为y:(x+4)二次函数的系数a、b、c与图象位置之间关系例3已知二次函数y=ax2+bx+c (aT^O)的图象如图所 示，分析以下4个结论：①abc〉O，②a+b+cO，b〉0，故①错误；当x=l时， y〉0，即 a+b+c〉O，当 x=-l 时，y2a，即 2a+b0,矛盾，故错 误；同理得选项B也错误；选项C，由抛物线位置得a>0, cO, c〈0，两图象都与y轴交于点(0，c)，二者相符；同理 选项D也相符.再观察选项C与选项D，不同的是另一个交点的位置，于是解方程组y=ax2+（a+c） x+c，y=ax+c，得xl=O, yl=c，或x2=-B, y2=0.故两个图象的交点坐标为（0，c） 和-■，0，即另一个交点-■，0在x轴上，故选项D正确.2.本例最易错的地方是发现选项C不矛盾，选项D就 不再观察和考虑了，而直接选C.在解题时一定要仔细观察， 把题目读完.数形结合，灵活运用一次函数、反比例函数、 二次函数等各类函数的性质与图象特征（特别是交点）来解 决问题.函数与方程的关系问题例5若函数y=mx2_6x+2的图象与x轴只有一个公共点， 求m的值.错误解答因为函数y=mx2_6x+2的图象与x轴只有一个m:公共点，所以 b2-4ac=0，即(-6) 2-4mX2=0,正确解答若m=0，则y=_6x+2，函数图象与x轴只有一 个公共点;若mT^O，则y=mx2-6x+2为二次函数，图象与x轴只有m:一个公共点时b2-4ac二0，即（一6） 2_4mX2二0,所以所以，函数y=mx2-6x+2的图象与x轴只有一个公共点时，m=0或m:点评本例应分类讨论，容易出现漏掉m=0时函数为一 次函数的情况.避免错误的方法是认真读题和审题.利用二次函数求最大（小）值时忽略自变量的取值范例6如图，已知边长为4的正方形CDEF截去一角后变成五边形ABCDE，其中AE=2，BF=1.请在AB上求一点P，使 矩形PNDM面积最大.错误解答设点P到EF距离PQ=x，则PN:4-x，FG，:x， GB=l-x.由 ABPG⑺ABAF，得■=■，即■二■，所以 PG:2(1-x), 所以 PM二4-PG二4-2 (1-x)二2+2x，则矩形 PNDM 的面积 S=PN • PM= ( 4-x ) ( 2+2x ) -_2x2+6x+8-~2x_ H ■ + ■，所以，当x=■时，SH = H.正确解答上文已求出矩形PNDM的面积S=-2x-则此二次函数图象顶点为■，而自变量取值范围为0