圆锥曲线高考真题专练(含答案)知识.docx

高中教育 | 精品借鉴2022年数学全国1卷设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.〔1〕当与轴垂直时，求直线的方程；〔2〕设为坐标原点，证明：.解：〔1〕由得，l的方程为x=1.由可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为或.〔2〕当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，那么，直线MA，MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.那么.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.椭圆C：〔a>b>0〕，四点P1〔1,1〕，P2〔0,1〕，P3〔–1，〕，P4〔1，〕中恰有三点在椭圆C上.〔1〕求C的方程；〔2〕设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：〔1〕由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.〔2〕设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为〔t，〕，〔t，〕.那么，得，不符合题设.从而可设l：〔〕.将代入得由题设可知.设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点〔2，〕2022年数学全国1卷设圆的圆心为A，直线l过点B〔1,0〕且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.〔I〕证明为定值，并写出点E的轨迹方程；〔II〕设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】〔I〕〔〕；〔II〕【解析】试题分析：〔I〕利用椭圆定义求方程；〔II〕把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。

试题解析：〔I〕因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：〔〕.〔II〕当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.那么，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.2022年数学全国1卷圆:,圆:,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.〔Ⅰ〕求C的方程；〔Ⅱ〕是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 【解析】由得圆的圆心为〔-1，0〕,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为〔，〕，半径为R.〔Ⅰ〕∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.〔Ⅱ〕对于曲线C上任意一点〔，〕，由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为〔2，0〕时，R=2.∴当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，那么与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，那么=，可求得Q〔-4，0〕，∴设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.2022年数学全国1卷设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点.（1） 假设，的面积为，求的值及圆的方程；（2） 假设三点在同一直线上，直线与平行，且与之有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.【解析】〔1〕由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离圆的方程为 〔2〕由对称性设，那么 点关于点对称得： 得：，直线切点 直线坐标原点到距离的比值为。

为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.(I)证明：点在上；(II)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.【命题意图】此题考察直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件解析】(I),的方程为,代入并化简得. …………………………2分设,那么由题意得所以点的坐标为.经历证点的坐标满足方程,故点在椭圆上…6分(II)由和题设知，，的垂直平分线的方程为. ①设的中点为,那么,的垂直平分线的方程为. ②由①、②得、的交点为. …………………………9分,,,,,故,又, ,所以,由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.……………12分如图，抛物线与圆相交于、、、四个点〔I〕求得取值范围；〔II〕当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：〔I〕这一问学生易下手将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．〔＊〕抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程〔＊〕有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．〔II〕考纲中明确提出不考察求两个圆锥曲线的交点的坐标。

因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．设四个交点的坐标分别为、、、那么由〔I〕根据韦达定理有，那么令，那么下面求的最大值方法一：利用三次均值求解三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似当且仅当，即时取最大值经检验此时满足题意方法二：利用求导处理，这是命题人的意图具体解法略下面来处理点的坐标设点的坐标为：由三点共线，那么得设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．〔1〕求的方程；〔2〕求过点，且与的准线相切的圆的方程．解：〔1〕由题意得，l的方程为.设，由得.，故.所以.由题设知，解得〔舍去〕，.因此l的方程为.〔2〕由〔1〕得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.设所求圆的圆心坐标为，那么解得或因此所求圆的方程为或.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解〔1〕设P〔x,y〕,M〔x0,y0〕,设N〔x0,0〕, 由得因为M〔x0,y0〕在C上，所以因此点P的轨迹方程为〔2〕由题意知F〔-1,0〕.设Q〔-3，t〕,P(m,n),那么，由得，又由〔1〕知，故3+3m-tn=0所以，即.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.〔I〕当t=4，时，求△AMN的面积；〔II〕当时，求k的取值范围.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；〔Ⅱ〕设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：〔I〕设，那么由题意知，当时，的方程为，.由及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.〔II〕由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，假设四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，那么，，，由此可得.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝.由，四边形ACBD的面积.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足 .〔I〕证明：点P在C上；〔II〕设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在同一圆上。

解：（I） ，l的方程为，代入并化简得……2分设，那么，得得所以点P的坐标为，验证得P在椭圆上……6分（II） 由，知，的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，那么，AB的垂直平分线的方程为联立，得，……9分……12分己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．〔Ⅰ〕求C的离心率；〔Ⅱ〕设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．解：〔I〕由题设知，的方程为代入C的方程，并化简得，设那么①由为B D的中点知故即②故所以C的离心率〔II〕由①、②知，C的方程为：A〔a，0〕，F〔2a，0〕，故不妨设…………9分又故解得〔舍去〕故连结MA，那么由A〔1，0〕，M〔1，3〕知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆主，MA为半径的圆经地A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切…………12分斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．〔1〕证明：；〔2〕设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．解：〔1〕设，那么.两式相减，并由得.由题设知，于是.①由题设得，故.〔2〕由题意得，设，那么.由〔1〕及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，那么.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.抛物线C：y2=2x，过点〔2,0〕的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．〔1〕证明：坐标原点O在圆M上；〔2〕设圆M过点P〔4，-2〕，求直线l与圆M的方程．解〔1〕设由可得又=4因此OA的斜率与OB的斜率之积为所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.。