7应力状态和强度理(改)论剖析.ppt

第七章,应力状态和强度理论,一、一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并建立组合变形情况下的强度条件二、研究应力状态的方法—单元体法,§7-1 应力状态的概念,1.单元体法：研究围绕构件内一点所截取的微小正六面体的受力情况为了研究一点的应力状态，围绕该点截取一微小的 正六面体, 这个微小正六面体就称为单元体 由于单元体很微小, 故可以把它的各个面上的应力 看做是均匀分布的单元体两个平行平面上的应力, 可看成是相等的 这个单元体的应力情况可以代表该点的应力状态2. 单元体：,（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，可用一个角标表示2）面的方位用其法线方向表示,,4.截取原始单元体的原则,①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,②单元体各个面上的应力已知或可求；,③几种常见受力情况下单元体的表示方法：,3.单元体上的应力分量,轴向拉压：（一对横截面，两对纵截面）,CL10TU3,,5. 主单元体, 主平面, 主应力,在受力构件中的某一点, 总可以找出一个单元体,在这个 单元体的各个面上只有正应力而无剪应力。

主单元体 ：各个面上剪应力为零的单元体 ； 主平面 ：主单元体上的各个面 ； 主应力 ：主平面上的正应力 定义：,,①单向应力状态：只有一个主应力不等于零 ②二向应力状态（平面应力状态）：两个主应 力不等于零 ③三向应力状态（空间应力状态）：三个主应 力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态,三、应力状态的分类：,可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3,,例1 画出如图所示梁 S 截面的应力状态单元体.,S平面,,,,平面应力状态的普遍形式如图所示 , 单元体上有 x ,xy 和  y , yx,§7-2 平面应力状态分析的解析法,,1.求任意斜截面上的应力,符号规定：σ：拉应力为正 τ：使单元体产生顺时针转动趋势为正 α：以x轴正向为起线，逆时针旋转为正,e,,f,a,,α,dA,dAsin,dAcos,平衡条件的应用—微元局部的平衡方程,平衡对象 — 用 斜截面截取的微元局部,参加平衡的量 — 应力乘以其作用的面积,平衡方程,，,,,,,,,,,,,,任意倾角斜截面的应力公式,2.主应力及其方位：,最大正应力和最小正应力所在平面就是主平面 , 最大正应力和最小正应力就是两个主应力。

1). 当 x y 时 ， 0 是 x 与 max 之间的夹角.,(2). 当 xy 时 ， 0 是 x 与 min 之间的夹角.,(3). 当 x=y 时 ， 0 =45°，,则确定主应力方向的具体规则如下,若约定 | 0 | 45°即 0 取值在 ±45°范围内,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来.,判断 0 是 x 与哪一个主应力间的夹角:,3.极值切应力：,,,例2 图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力； ②主应力并画出主单元体；③极值切应力例3 简支梁如图所示.已知mm 截面上 A 点的弯曲 正应力和切应力分别为  =-70MPa， =50MPa . 确定: A 点的主应力及主平面的方位 .,,解：,把从 A 点处截取的单元体放大如图,因为 x y ， 所以 0= 27.5° 与 min 对应,,例4 图示单元体 已知: x =-40MPa ，y =60MPa ，xy=-50MPa 试求: ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位1) 求 ef 截面上的应力,(2) 求主应力和主单元体的方位,x = -40MPa y =60 MPa xy = -50MPa =-30°,因为 x y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应,最大正应力所在平面，即为两个切应力箭头所指向的夹角所对的平面,解 : (1) 求主平面方位,,例5 求:平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.,xy,（2）求主应力,1 =  ， 2 = 0 ， 3 = - ,§7-3 平面应力状态分析的图解法,一.应力圆,将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方, 然后相加便可消去  , 得,,因为 x ，y ，xy 皆为已知量, 所以上式是一个以  ,  为变量的圆周方程。

当斜截面随方位角  变化时, 其上的应力  ,  在  -  直角坐标系内的轨迹是一个圆 1. 圆心的坐标,2. 圆的半径,此圆称为 应力圆, 或称为莫尔圆二、应力圆的绘制：,①取x面，定D( )点；取y面，定D‘( )点；,②连DD' 交s轴于C点，以C为圆心， DD'为直径作圆；,(1). 该圆的圆心 C 点到 坐标原点的距离为,(2). 该圆半径为,证明：,(3) 主平面方位,由 CD 顺时针转 20 到 CA1,即到 1 对应的主平面的外法线,三.应力圆的应用,1. 单元体上任一 截面上的应力,从应力圆的半径 CD 按方位角  的转向, 转动 2 , 得到半径 CE . 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的 正应力  和切应力  证明:,2.主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面对应的点， 其横坐标 为主应力 1 ，2,3.极值切应力,G1 和 G 2 两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,因为最大最小切应力 等于应力圆的半径,4.结论：几种对应关系,①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;,③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；,④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。

⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表最大主应力所在平面，转至s轴负向B1点代表最小主应力所在平面；,⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为最大切应力，纵轴坐标最小的G2点为最小切应力，作用面确定方法同主应力求：1)a=30o斜截面上的应力； 2)主应力及其方位； 3)极值剪应力例6 用应力圆法重解前面例2例7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,,(1) 绘出相应的应力圆,(2) 确定此单元体在  =30o 和  = - 40o 两斜面上的应力解: (1) 画应力圆,量取 OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2 , 定出 D 点;,,,OB =y= - 0.4 和 BD′ = yx= 0.2 , 定出 D′点 .,,以 DD’ 为直径绘出的圆即为应力圆将半径 CD 逆时针转动 2 = 60°到半径 CE , E 点的坐标就代表  = 30°斜截面上的应力。

2) 确定  = 30°斜截面上的应力,,(3) 确定  = - 40°斜截面上的应力,将半径 CD 顺时针转 2 = 80°到半径 CF, F 点的坐标就代表  = - 40° 斜截面上的应力例8 分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值单位：MPa,解：(一)使用解析法求解,(二)使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：,,例9 求图示单元体的主应力及主平面的位置单位：MPa),A,B,解：①主应力坐标系如图,③AB的垂直平分线与s 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆得应力圆,s1,s2,②在坐标系内画出点,,s1,s2,④主应力及主平面如图,A,B,解法2—解析法：建立坐标系如图,,,例10: 一点处的应力状态如图示 ( 应力单位为 MPa ) 试: 用应力圆求主应力及其作用平面2α0,,,,,α0,,§7-4 三向应力状态简介,主单元体：六个平面都是主平面,在三向应力状态情况下：,τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示,例11 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。

解：,在zoy平面内：,例12求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）解：,在zoy平面内：,例13 求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）解：,在xoy平面内：,§7-5 广义胡克定律,一、广义胡克定律,广义胡克定律：,上式统称为 广义胡克定律,—— 沿 x、y、z 轴的线应变 —— 在 xy、yz、zx 面内的切应变,同理可得，在任意形式的应力状态下有,对于二向应力状态：,对于任意情形的平面应力状态 (假设 z = 0 ，xz= 0 ，yz= 0 ),,二、各向同性材料的体积应变,构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.,各向同性材料在三向应力状态下的体积应变：,如图所示的单元体, 三个边长为 a1 , a2 , a3,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,a1(1+  ，a2(1+ 2 ，a3(1+ 3,V1= a1(1+  · a2 (1+ 2 · a3 (1+ 3,单元体的单位体积变化为,— 体积应变,体积应变为,,代入广义胡克定律,略去应变的二次以上微量,或,1. 纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下, 切应力不引起各向同性材料的体积改变.,,2. 三向等值应力单元体的体积应变,三个主应力的平均值为,单元体的体积应变,平均应力,体积胡克定律,这两个单元体的体积应变相同,单元体的三个主应变为,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例, 由于三个 棱边应变相同, 则变形后的三个棱边的长度仍保持这种 比例。

所以在三向等值应力 m 的作用下, 单元体变形后 的形状和变形前的相似, 称这样的单元体是形状不变的.,在一般的空间应力状态下, 材料的体积应变只与 三个线应变 x ，y， z 有关, 仿照上述推导有：,在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的 正应力之和成正比, 而与切应力无关. 切应力只与单元体的形状改变有关例14 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积 较大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知：铜的弹性模量 E=100GPa , 泊松比 =0.34 , 受到 F=300kN 的均布压力作用 求：该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.,解：铜块横截面上的压应力,铜块受力如图所示, 变形条件为,联立解两个式子，解得,铜块的主应力为,最大切应力,体积应变为,例15 一直径 d =20mm 的实心圆轴, 在轴的两端加 扭矩 m=126N·m.在轴的表面上某一点 A 处用变形仪 测出与轴线成 -45°方向的应变  =5.010-4 试求: 此圆轴材料的剪切弹性模量 G 解：围绕 A 点取一单元体,,,,例16 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面 上 k 点与其轴线成 45°和135°角，即 x, y 两方向分别 贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶， 如图所示。

已知：圆筒材料的弹性常数为 E = 200GP。