六年级数学思维训练——分数裂项.doc

学越—六年级数学思维训练分数的速算与巧算—裂项知识导航分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分，将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的1.分数裂差型运算公式： (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面， 即，那么有 (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：裂差型特征：(1) 分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是 只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值2. 分数裂和型运算公式： （1） （2） 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵 消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

3. 整数裂项运算公式： (1) (2) 精典例题1:思路点拨观察分数特征，此题属于裂差型分母为4个连续自然数乘积，可直接运用公式模仿练习1: 精典例题2:思路点拨 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子 不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2 的 等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．模仿练习2: 精典例题3:思路点拨 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可 以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即： 原式 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称 性，可以用平方差公式：，，……精典例题4: 精典例题5:思路点拨本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，模仿练习3: 精典例题6: 思路点拨 这题是利用平方差公式进行裂项： 精典例题7:思路点拨式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．课后练习1 １.2666600=_________； 2. 计算： 3．=_________； ４. 求和：５. 求和：课后练习2 1. 2.=_________3.=_________；5049/5054.计算：5。