专升本《高等数学》精选练习强化试卷04.docx

专升本《高等数学》精选练习强化试卷04一、选择题1．函数内连续，且，则常数a，b满足（D）（A）； （B）；（C）； （D）解：要使内连续，必须保证的分母没有零点，故要求，从而排除（A）和（C）但当时，因为，这时（B）使，所以排除（B），故应选（D）2．设其中在处可导， ，，则（B）（A）连续点； （B）第一类间断点；（C）第二类间断点；（D）连续点或间断点不能由此确定解：∵，而， ∴，∴是的第一类间断点3．其中是有界函数，则在处（D）（A）极限不存在；（B）极限存在但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导解：，（等价无穷小代换） （有界函数乘无穷小）， 故 ，应选（D）4．设，则（ ）（A）处处不可导； （B）处处可导；（C）有且仅有一个不可导点； （D）有且仅有两个不可导点解：∵，，∴∵, ，∴在点不可导故 ∴有且仅有一个不可导点二、填空题1．已知，在所定义的区间上连续，则a=；b=解：只要考虑，，，∵，， ∴，∵，，∴，故，2．已知，则 1 3．已知，，则 解：4．设，则解：， 三、证明题1．证明方程至少有一个正实根证明：设，则。

∵，， ∴由零点定理可知， ，使得， 故方程至少有一个正实根2．证明方程，其中，，在和内至少各有一个实根证法1：令，则在和内均连续∵，，，，∴必有，使得，，由零点定理知，，使得 同理，必有，使得，，由零点定理知，，使得 故方程在和内各有一个实根证法2：令则与在和内同解∵是二次多项式，∴上必连续，∵，，∴，，，由零点定理知，，使得；，使得因此在和内至少各有一个实根，又二次方程至多有两个实根，故在和内各有且仅有一个实根，从而，即在和内各有且仅有一个实根3．按定义证明：（1）若偶函数可导，则它的导函数是奇函数；（2）若奇函数可导，则它的导函数是偶函数；（3）若周期函数可导，则其导函数仍是周期函数，且周期不变证明：（1）若是偶函数，，则故为奇函数2）若是奇函数， ，则 故为偶函数3）若是周期函数，且周期为，，则故是周期函数，且周期不变四、解答题1．设有一阶连续导数，，求 解： 2．设曲线在点（1，1）处的切线交x轴于点，求解：， ，切线方程为 ∵切线过点， ∴，解之得， 从而， ∴3．设函数（1）求的表达式；（2）讨论的连续性和可导性。

解：∵，∴又由初等函数的连续性知，∴∵，，∴∴4．设在点连续，且，试证：存在的某邻域，使得在此邻域内有，其中证明：∵在点连续，，∴， 由函数极限的保序性可知，，，恒有，即。