2022年数学分析教案(华东师大版)第十四章幂级数.docx

学习必备欢迎下载第十四章 幂级数教学目的： 1.懂得幂级数的有关概念，把握其收敛性的有关问题； 2.懂得幂级数的运算，把握函数的幂级数绽开式并熟悉余项在确定函数能否展为幂级数时的重 要性；教学重点难点： 本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、绽开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别；教学时数： 12 学时 1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念 . 型如 和 的幂级数 . 幂级数由系数数列 唯独确定 . 幂级数至少有一个收敛点 . 以下只争论型如的幂级数 .幂级数是最简洁的函数项级数之一 .一. 幂级数的收敛域 :1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域：Th 1 （ Abel ） 如幂级数 在点 收敛 ， 就对满意不等式 的任何 ，幂级数 收敛而且肯定收敛 ；如在点 发散 ， 就对满意不等式 的任何 ，幂级数 发散.证 收敛, { }有界. 设| | , 有| , 其中 ..定理的其次部分系第一部分的逆否命题 .幂级数 和 的收敛域的结构 .定义幂级数的收敛半径 R.收敛半径 R 的求法.Th 2 对于幂级数 , 如 , 就ⅰ> 时, ;ⅱ> 时 ; ⅲ> 时 .证 , 〔 强调开方次数与 的次数是一致的〕. ⋯⋯由于 , 因此亦可用比值法求收敛半径 .幂级数 的收敛区间 : .幂级数 的收敛域 : 一般来说 , 收敛区间 收敛域. 幂级数的收敛域是区间 、 、 或 之一.例 1 求幂级数 的收敛域 .例 2 求幂级数 的收敛域 .例 3 求以下幂级数的收敛域 :⑴ ; ⑵ .2. 复合幂级数 : 令 , 就化为幂级数 .设该幂级数的收敛区间为 ，就级数 的收敛区间由不等式确定.可相应考虑收敛域 .特称幂级数 为正整数 〕为缺项幂级数 . 其中 . 应留意为第 项的系数 . 并应留意缺项幂级数 并不是复合幂级数 , 该级数中, 为第 项的系数 .例 4 求幂级数 的收敛域 .解 是缺项幂级数 .. 收敛区间为 . 时,通项 . 因此 , 该幂级数的收敛域为 .例 5 求级数 的收敛域 .解 令 , 所论级数成为幂级数 .由几何级数的敛散性结果 , 当且仅当 时级数 收敛. 因此当且仅当, 即 时级数 收敛. 所以所论级数的收敛域为 .例 6 求幂级数 的收敛半径 .解 .二． 幂级数的一样收敛性：Th 3 如幂级数 的收敛半径为 ，就该幂级数在区间内闭一样收敛 .证 , 设 , 就对 , 有, 级数 肯定收敛 , 由优级数判别法 , 幂级数 在 上一样收敛 . 因此 , 幂级数 在区间 内闭一样收敛 .Th 4 设幂级数 的收敛半径为 ,且在点 〔 或〕收敛,就幂级数 在区间 〔 或 〕上一样收敛 .证 . 收敛 , 函数列 在区间上递减且一样有界 ,由 Abel 判别法,幂级数 在区间 上一样收敛 .易见 , 当幂级数 的收敛域为 〔 时 , 该幂级数即在区间 上一样收敛 .三. 幂级数的性质 :1. 逐项求导和积分后的级数 :设 ,*〕 和 **〕仍为幂级数 . 我们有命题 1 *〕 和 **〕与 有相同的收敛半径 . 〔 简证 〕值得留意的是， *〕 和 **〕与 虽有相同的收敛半径 （ 因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数 .2. 幂级数的运算性质 :定义 两个幂级数 和 在点 的某邻域内相等是指： 它们在该邻域内收敛且有相同的和函数 .命题 2 , .〔由以下命题 4 系 2〕命题3设幂级数和 的收敛半径分别为和,ⅰ>, 就, — Const ，.ⅱ>+, .ⅲ>〔 〕〔〕 , ,.3. 和函数的性质 :命题 4 设在 〔 内 . 就ⅰ> 在 内连续;ⅱ> 如级数 或 收敛, 就 在点 〔 或〕是左〔 或右 〕连续的;ⅲ> 对 , 在点 可微且有 ;ⅳ> 对 , 在区间 上可积, 且.当级数 收敛时, 无论级数 在点 收敛与否 ,均有. 这是由于 : 由级数 收敛, 得函数在点 左连续, 因此有 .推论 1 和函数 在区间 内任意次可导 , 且有, ⋯⋯.由系 1 可见, 是幂级数的和函数的必要条件是 任意次可导 .推论 2 如 , 就有例 7 验证函数 满意微分方程 .验证 所给幂级数的收敛域为 .., 代入, . 2 函数的幂级数绽开一. 函数的幂级数绽开 :1. Taylor 级数: 设函数 在点 有任意阶导数 .Taylor 公式和 Maclaurin 公式 .Taylor 公式：.余项 的形式:Peano 型余项: ,（ 只要求在点 的某邻域内有 阶导数 ， 存在 ）Lagrange 型余项: 在 与 之间.或 .积分型余项 : 当函数 在点 的某邻域内有 阶连续导数时 , 有.Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下 , 有 Cauchy 余项.特殊地， 时， Cauchy 余项为在 与 之间.Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项 , 是用多项式靠近函数 . 项数无限增多时, 得,称此级数为函数 在点 的 Taylor 级数. 只要函数 在点 无限次可导, 就可写出其 Taylor 级数. 称 = 时的 Taylor 级数为 Maclaurin 级数,即级数 .自然会有以下问题 : 对于在点 无限次可导的函数 , 在 的定义域内或在点 的某邻域内 , 函数 和其 Taylor 级数是否相等呢 .2. 函数与其 Taylor 级数的关系：例 1 函数 在点 无限次可微 . 求得. 其 Taylor 级数为.该幂级数的收敛域为 . 仅在区间 内有 = . 而在其他点并不相等 , 由于级数发散 .那么, 在 Taylor 级数的收敛点 , 是否必有 和其 Taylor 级数相等呢 .回答也是否定的 .例 2 函数 在点 无限次可导且有因此其Taylor 级数 ，在 内到处收敛 . 但除了点 外, 函数 和其 Taylor 级数并不相等 .另一方面 , 由本章1 命题 4 推论 2（和函数的性质）知：在点 的某邻域内倘有 ,就 在点 无限次可导且级数 必为函数 在点 的 Taylor 级数.综上 , 我们有如下结论 :⑴ 对于在点 无限次可导的函数 , 其 Taylor 级数可能除点外均发散 , 即便在点 的某邻域内其 Taylor 级数收敛 , 和函数也未必就是. 由此可见 , 不同的函数可能会有完全相同的 Taylor 级数.⑵ 如幂级数 在点 的某邻域内收敛于函数 , 就该幂级数就是函数 在点 的 Taylor 级数.于是 , 为把函数 在点 的某邻域内表示为关于 的幂级数， 我们只能考虑其 Taylor 级数.3. 函数的 Taylor 绽开式：如在点 的某邻域内函数 的 Taylor 级数收敛且和恰为 ，就称函数 在点 可绽开成 Taylor 级数〔自然要附带绽开区间 . 称此时的 Taylor 级数为函数 在点 的 Taylor 绽开式或幂级数绽开式 . 简称函数 在点 可展为幂级数 . 当 = 0 时, 称Taylor 绽开式为 Maclaurin 绽开式. 通常多考虑的是 Maclaurin 绽开式.4. 可展条件 :Th 1 〔 必要条件 〕 函数 在点 可展 , 在点 有任意阶导数 .Th 2 〔 充要条件 〕 设函数 在点 有任意阶导数 . 就 在区间内等于其 Taylor 级数〔 即可展 〕的充要条件是 : 对,有 . 其中 是 Taylor 公式中的余项 .证 把函数 绽开为 阶 Taylor 公式, 有.Th 3 〔 充分条件 〕 设函数 在点 有任意阶导数 , 且导函数所成函数列 一样有界 , 就函数 可展.证 利用 Lagrange 型余项 , 设 , 就有.例 3 绽开函数 ⅰ> 按 幂; ⅱ> 按 幂.解,,.所以 , ⅰ> .可见 , 的多项式 的 Maclaurin 绽开式就是其本身 .ⅱ>.二. 初等函数的幂级数绽开式 :初等函数的幂级数绽开式才是其本质上的解析表达式 .为得到初等函数的幂级数绽开式 , 或直接绽开 , 或间接绽开 .1. . 〔 验证对 R ， 在区间 〔 或 〕上有界, 得一样有界 . 因此可展 〕..2. , ., .可展是由于 在 内一样有界 .3. 二项式 的绽开式 :为正整数时 , 为多项式 , 绽开式为其自身 ;为不是正整数时 , 可在区间 内绽开为对余项的争论可利用 Cauchy 余项. 详细争论参阅 [1]P56.时, 收敛域为 ;时, 收敛域为 ;时, 收敛域为 .利用二项式 的绽开式 , 可得到许多函数的绽开式 . 例如取 ,得， .时, , .间接绽开 : 利用已知绽开式 , 进行变量代换、四就运算以及微积运算 , 可得到一些函数的绽开式 . 利用微积运算时 , 要求一样收敛 . 幂级数在其收敛区间内闭一样收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻 .4. ..事实上 , 利用上述 的绽开式 , 两端积分 , 就有,.验证。