具有动应力、动位移约束的连续体结构的拓扑优化设计方法.pdf

1 第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 具有动应力、动位移约束的连续体结构的拓扑优化设计方法 具有动应力、动位移约束的连续体结构的拓扑优化设计方法 荣见华 1,3, 姜节胜2, 胡德文3,颜东煌1 （1. 长沙交通学院汽车与机电工程系，湖南 长沙 410076；2.西北工业大学振动工程研究所，陕西 西安 710072； 3.国防科技大学 湖南 长沙 410056) 摘摘 要： 要： 基于在结构孔洞或边界周围附加人工材料的思路,给出了静力载荷和简谐动载荷作用下考虑静应力、动 应力和多个动响应约束的优化准则和算法算例表明给出的方法是正确和有效的，并具有较好的工程应用价值 关键词： 关键词： 固体力学；拓扑优化；渐进优化；动应力；动响应； Topology Optimization of Continuum Structures with Dynamic Stress and displacement Constraints RONG Jian-hua1,3, JIANG Jie-sheng2, HU De-wen3, YAN Dong-huang1 (1.Automobile and Mechatronic Eng. Dept., Changsha Communications University, Changsha 410076, China; 2. Institute of Vibration Eng., Northwestern Polytechnical University, Xian 710072, China; 3. National University of Defence Technology, Changsha 410056, China;) Abstract: Based on an idea that man-made material is added around optimal structural cavities and boundaries, and combining ESO method, a set of criteria, for adding and removing finite elements for the topology optimization problem of continuum structures with dynamic stress and displacement constraints, is set, and a kind of new topology optimization procedure is given. Several examples show that the proposed method is very valid and effective for structural topology optimization, and is of good engineering application value. key words: mechanics; topology optimization; evolutionary structural optimization; dynamic stresses; dynamic responses 1 引言引言 在静力学连续体结构拓扑优化方面报道的方法很多， 如著名的均匀化方法（Homogenization Method） 、 变 厚度法、变密度法和进化结构优化法（Evolutionary Structural Optimization,简称 ESO 法）等。

但涉及动力学要求 的连续体结构拓扑优化方面的论文较少, 文[1]采用均匀化方法开展了动载荷作用下的结构拓扑优化研究，但给 出的算例仅是结构加筋的设计 作者采用渐进优化方法开展了随机载荷作用下的结构拓扑优化设计方法研究[2] , 但难于直接推广到仅涉及简谐动载荷下动响应要求的结构拓扑优化中 文献[3]的研究表明,在结构动力学优化中, 可行区域的性态不良, 即这类问题的可行域可能是多连通的，这对优化算法提出了更高要求作者在尝试将文 基金项目：国家自然科学基金项目(10072050); 湖南省自然科学基金项目(01JJY2048) 作者简介：荣见华(1963- ), 男，湖南人，研究员 姜节胜(1937- ), 男，上海人，教授，博士导师 2 献[2]的方法推广到简谐载荷作用的连续体结构优化情况的仿真过程中， 这种多连通性除引起拓扑解(即使采用有 限单元的高阶位移形函数)出现棋盘格现象, 且难于收敛外，还在许多次迭代步产生不切合工程实际的拓扑解, 以致得不到构形美观的优化拓扑本文模拟工程结构的静力设计、动力校核、修改的一般模式，借鉴文[4]的双 方向渐进方法, 初步探索考虑静力和动力约束的连续体拓扑优化方法。

2 即有静载荷又有简谐动载荷作用下的结构拓扑优化问题的数学模型即有静载荷又有简谐动载荷作用下的结构拓扑优化问题的数学模型 本文在每一优化迭代步开始前, 将当前拓扑结构(如图 1(a)所示)转化为一个新的拓扑结构(如图 1(b)所示), 新的拓扑结构是由保留的单元(黑体表示的区域)构成的当前拓扑结构和沿当前结构边界、 孔洞周围附加的一些人 工材料单元(图 1(b)中浅色部分)两部分组成因此，图 1(b)所示的固定网格区域所有单元可分为三类：一类是暂 时保留的单元；第二类是暂时被删除了的单元；第三类是暂时的人工材料元素，这类单元位于当前保留的元素 结构孔洞和边界周围,形成了暂时保留的单元和暂时被删除了的单元的分界线或面, 该类元素参与结构分析和优 化设计，这类元素的弹性模量和质量密度人为设置, 这里设置为 24 10 w m rEE= − 和 24 10 w m r= − ρρ (E和ρ分别为该元素空间充有材料时，其材料的弹性模量和质量密度， w r为当前结构保留材料的重量与整个 网格区域满材料时重量之比)；在得到的最优结构拓扑里, 只有保留的单元组成了优化拓扑,其他类型单元都形 成孔洞。

因此，在每一迭代步之前，依据结构保留单元(其保留单元集合记为 1 S)信息，在结构孔洞和边界周围 需重新形成人工材料单元，其集合记为 3 S暂时被删除了的单元的集合记为 2 S (a) (b) 图 1 人工材料单元分布示意图: (a)当前结构(黑体代表保留的单元) (b)新结构(浅色表示人工材料单元) Fig. 1 Element categories in the fixed finite mesh domain: (a) a topology structure only including removed element (white areas) and retained elements (black areas); (b) the transferring topology structure with retained elements (black areas), removed elements (white areas) and man-made material elements (red-white areas), corresponding to fig.1 (a); 依据结构动位移,静应力和动应力要求,可以建立单工况静、动载荷下结构拓扑优化问题的数学模型如下： 求 qp jjjiii ββββββ,,,,,,, 2121 LL (1a) MIN ∑∑ == += q k k jj p r ii krr wwW 11 ββ (1b) s.t. * max σσ< s , * max )(σσ

)( max t ds σ为 即有动载荷作用又有静载荷作用下的t时刻结构的最大 von Mises 应力或其他准则应力 r i w 是第 r i个单元(属 第一类单元)的重量； k j w 是第 k j个单元(属第三类单元)的重量；这里),, 2 , 1(pr r i L=β为与第 r i个单元 相应的设计变量, 取 0 和 1 两个值；),, 2 , 1(qk k j L=β为与第 k j个单元相应的设计变量, 取 0 和 1 两个值； qp,分别为当前 1 S、 3 S集合的元素个数； v J u是结构的第 v J个自由度处的动位移幅值, U Jv u是 v J u的指定动 位移约束上限值, m是结构动位移约束数； N 是固定有限单元网格中全部充有材料时的结构单元总数； 3 动响应约束及其灵敏度数动响应约束及其灵敏度数 这里基于模态分析理论，导出动响应约束和其灵敏度数表示式 结构动力问题的有限元方程能写为： 3 { }{ }{ } { }tFyyyωsin][][][=++KCM b) 从先前确定的单元集合 r S中,选取一定数量 d n(),min( spd nNRDn=, p N为当前结构保 留材料的单元数)，且具有最低 j γ的单元;删除这 d n个单元(对称结构有对称性要求) ； c) 如果在设计域中，再没有任何单元能满足方程(22), 则达到一个新的稳态。

为了使优化过程 继续，稳态数SS增 1，并重复删除操作中的步骤(a)； II) 增加单元的操作 a) 采用方程(24) 确定单元集合{} {} sdA k dAs e s k s ea IRSIReIRSIReS maxmax )(,)(,σσγσσγ+≥+≥=I ( 3 SSa⊂)以及 a S中的单元个数 sa n； s k s e IRSIR max )(σσγ+≥ (24a) sdA k sdA e IRSIR max )(σσγ+≥ (24b) m EE /=γ 式中, )(IRSIRk+是包含率(或增添率)，可表为： askk EIRIR−= +1 (25a) 如果 IRSrIRIR sdAsdA mean ss meank −+=< +0maxmaxmin1 )/,/max(σσσσ 则 min1 IRIRk= + (25b) ⎩ ⎨ ⎧ ≥≥ << = * max * max * max * max 25. 0 ,0 . 0 σσσσ σσσσ sdAs sdAs or IRS (25c) 式中, s mean σ、 sdA mean σ分别是静力和静、动力载荷作用下的平均应力；这里， as E和 0 r是由本文 BESO 数值计算经验确定的二个常数，正常分别为 0.001 和 0.1, 它们是与增添单元的稳态数相连的参量； b) 从 先 前 确 定 的 单 元 集 合 a S 。