全国高中数学联赛分类汇编第08讲解析几何.doc

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何1、（2009一试2）已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为．【答案】【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得．2、（2009一试5）椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．【答案】【解析】设，．由，在椭圆上，有 ① ②得．于是当时，达到最小值．3、（2010一试3）双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.【答案】98004、（2011一试7）直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．【答案】或即，即，即．显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．故所求点的坐标为或．5、（2012一试4）抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是.【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得当且仅当时等号成立.故的最大值为1.6、（2013一试2）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点.则.【答案】2.【解析】点坐标为.设，，则，，故，即，故..7、（2013一试7）若实数满足，则的取值范围是.【答案】.如图所示，在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在的部分，即点与弧的并集.因此，从而.学%科网8、（2014一试6）设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.【答案】【解析】9、（2016一试7）双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是 .【答案】【解析】10、（2017一试3）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为.【答案】【解析】易知11、（2009一试9）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由消去化简整理得设，，则 ① 由消去化简整理得设，，则 ②因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条． 12、（2010一试10）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 【解析】解法一：设线段的中点为，则 ， .线段的垂直平分线的方程是. （1）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,. . 定点到线段的距离. . 当且仅当，即,或时等号成立. 所以，面积的最大值为. ,所以, 当且仅当且，即,或时等号成立.所以，面积的最大值是. 13、（2011一试11）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．【解析】（1）yxOPAB设直线：，．将代入中，化简整理得．上式中，分子，从而，．又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上． （2）若时，结合（1）的结论可知．直线的方程为：，代入中，消去得．它的两根分别是和，所以，即．所以．同理可求得． ．14、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．（１）求证：为定值；（２）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹． (2)设其中则.因为所以由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 学科/网15、（2013一试11）（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中两个点满足，,,，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明.【解析】令，则，，，.设，，，其中，.由，可知， 根据,，同理可得. 因此，由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即点为）.16、（2014一试9）（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直.设直线与，轴的交点分别为，（1） 证明：是一个顶点.（2） 求的最小值.【解析】(1)设P点的坐标为(a,b),易知,记两切点的坐标为则的方程分别为而点P的坐标为(a,b)同时满足（1）（2），故A，B的坐标均满足方程，故（3）就是直线AB的方程.直线PO与AB的斜率分别为从而（3）即为故AB与x轴的交点R是定点（2,0）.(2)因为a=-2，故直线PO的斜率则为锐角，且17、（2015一试11）(本题满分20分)在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左,右焦点,设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点,焦点到直线的距离为.如果直线的斜率成等差数列,求的取值范围.由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，故是方程（1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式即由直线的斜率依次成等差数列，所以化简并整理得假如，则直线L的方程为y=kx+k,即l经过点，不符合条件.因此必有故由方程（1）及韦达定理知，由化简得，这等价于反之当m,k满足（3及）时，l必不经过点（否则将导致与（3）矛盾），注意到，令，则上式可改写为考虑到函数在上单调递减，故由（4）得即18、（2016一试11）（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值.【解析】设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为.设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知.因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得.进而可知，点P的坐标为.于是.由｜PQ｜=2可得①结合①，就有②由共线，可得.化简得③令，则圆的面积之和为.根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况.根据②、③可知，.学科*网作代换，由于，所以.于是.上式等号成立当且仅当，此时，因此结合①得，从而F的坐标为.。