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高二数学分组与分配问题专题 超越文化培训高二数学寒假专题讲座 探讨排列组合中分组与分配问题2017、3 分组与分配模型就是排列组合中比较普遍，也就是较难解决得一类应用问题如何 把有关排列组合中得应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应 用问题，准确求解分组与分配中得分组个数与分配个数从而能掌握该节内容下面就分 组与分配问题得概念及模型进行提练与归纳；并就这类问题得解决方法进行总结： 一、分组与分配得相关概念：n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对 象，称为 分 配问题 ， ；将 n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为 分组问题 、 分组问题有非平均分组、 平均分组、与部分平均分组三种情况 二、分组与分配模型得分类： 均匀分组；非均匀分组；均匀分组与分配； 非均匀分组定向分配；非均匀分组不定向分配； 三、分组与分配模型得适用范围：n 个不同元素分配给k（kn）个不同得对 象，每个对象至少分配1 个元素 四、例题精选 : ( 一) 分组与分配问题得基本模型： 例 1、6 本不同得书，按照以下要求处理，各有几种分法? （1）平均分成三堆；均匀分组 问题 （2）平均分给甲、乙、丙3 人；均匀分组 分配问题 （3）一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本；非均匀分 组问题 （4）甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本；非均匀分 组定向分配 （5）一人得 1本，一人得 2 本，一人得 3 本；非均匀分组 不定向分配 分析：（1）6 本不同得书平均分成三堆得方法数共有 222 642 3 3 C C C A 种。

注意：不 同得两本书放在其中任意一组都就是同一种方法； （2）6 本不同得书平均分给甲、乙、丙3 人，这就是均匀分组分配问 题可先对 6 本书进行分组，共有分组方法数 222 642 3 3 C C C A 种；然后再把三堆书分别 高二数学分组与分配问题专题 分给甲、乙、丙 3 人，这就是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3 人得方法数共有 222 3642 33 3 C C C A A ?种 ，即 222 642 C C C种 （3）一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，这就是非均匀分组问题，分组方法数共 有 123 653 C C C种 （4）甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本，这就是非均分组定向分配问题，先 对 6 本书进行分组，分成三堆，共有方法数 123 653 C C C，然后再进行定向分配，由 于甲、乙、丙指定了书堆得个数，因此，甲得1 本，乙得 2 本，丙得 3 本得方 法数还就是 123 653 C C C种 (5) 一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本, 这就是非均匀分组不定向分配 问题，先把 6 本书分成三堆，一堆1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，分堆方法数共 有 123 653C C C；然后再分给三个人， 一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本得方法 数共有 1233 6533 C C C A种。

小结： 练习： 1、有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2 人承担，乙、丙各需1 人承担，现从 10 人中选派 4 人承担这三项任务则不同得选法种数有多少种? 2、有 17 个桃子，分成8 堆，其中一堆1 个，一堆4 个，另外6 堆每堆都就是2 个，有多 少种不同得分堆方法? ( 二) 分组与分配问题得综合应用： 例 2、四个不同得小球放入编号为1、2、3、4 得四个盒子中，则恰有一个空盒得放法共有 多少种 ? 分析：要使一个空盒，必须有一个盒子放2 个小球，另外两个盒子各放1 个小球； 因此，该题转化为4 个不同得小球分成3 组，然后将3 组小球分别投入到4 个盒子中得任意3 个盒子中 解：第一步：4 个小球分成3 组得分组方法数共有 211 421 2 2 C C C A 种； 第二步：再把 3 组分好得小球投入到4 个盒子中得任意 3 个小盒中， 分配方法数共有 3 4 A种； 所以，要完成四个不同得小球放入编号为1、2、 3、4 得四个盒子中，需要 两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数 211 3421 42 2 C C C A A 种 变式题：四个不同得小球放入编号为1、2、3、4 得四个盒子中， ，则愉有2 个空盒得 高二数学分组与分配问题专题 放法共有多少种? 例 3、有 5 件不同得奖品发给4 位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同得发法? 分析： 5 件不同得奖品发给4 位先进工作者，至少有一位先进工作者要领2 件不同得 奖品；因此，可以把5 件奖品分成4组，每组分别有2 件、 1 件、 1 件， 1 件； 然后再把四组奖品分别发给4 个不同得先进工作者。

解：第一步：5 件不同得奖品分成4 个小组，分组方法数共有 2111 5321 3 3 C C C C A 种； 第二步：再把 4 个小组得奖品分给4 个不同得先进工作者，分配方法 数有 4 4 A种； 所以，要完成5 件不同得奖品发给4 位先进工作者，需分两步骤完成，利用乖法原 理，发放奖品得方法数共有 2111 45321 4 3 3 C C C C A A ?种 变式题：有5 件不同得奖品发给3 位先进工作者，每人至少1 件，有多少种不同得发 放奖品得方法? 练习题： 1、将 4 名教师分配到3 所中学任教，每所中学至少1 名，有多少种不同得分配方案? 2、2 名医生与4 名护士被分配到2 所学校为学生体检，每校分配1 名医生与2 名护士， 不同得分配方法共有多少种? 3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同得班，每个班至少分到一名学生， 且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同得分法种数有多少种? 。