新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练9-6 事件的相互独立性与条件概率 (精讲精练）（解析版）.doc

9-6 事件的相互独立性与条件概率1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．9-6 事件的相互独立性与条件概率 1一、主干知识 1考点1：相互独立事件 12．条件概率 23．全概率公式 2【常用结论总结】 3二、分类题型 3题型一 条件概率 3题型二 相互独立事件的概率 4题型三 全概率公式的应用 5三、分层训练：课堂知识巩固 6一、主干知识考点1：相互独立事件概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有．（1）；（2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意事件，都有，且．贝叶斯公式（1）一般地，当且时，有（2）定理：若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意概率非零的事件，都有，且【常用结论总结】1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．二、分类题型题型一 条件概率【例题精析1】 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】 A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【解答】 同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以.故选:.【例题精析2】 用五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件{数字在的左边}，事件{与相邻}，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】 D【分析】分别计算出，由条件概率公式可求得结果.【解答】 ，，.故选：D.【例题精析3】 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【答案】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【解答】 由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则.故答案为：；.【例题精析4】 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：  (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】 (1)岁；(2)；(3)．【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【解答】 （1）平均年龄    （岁）．（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．【例题精析5】 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，在取出球的编号互不相同的条件下，2号红球被取到的概率为 ．【答案】 /0.25【分析】用组合数公式找出总数和编号相同的取法，由对立事件可求编号不同的取法，再根据条件概率公式计算可得．【解答】 记“取出的编号互不相同”为事件A，“2号红球被取到”为事件B，因为从编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出个的取法有种，取出个球编号相同的取法有4种，所以球的编号互不相同的取法有种，又因为“取出的球的编号互不相同且2号红球被取到”的取法有种，所以在取出球的编号互不相同的条件下，2号红球被取到的概率为.故答案为： .【例题精析6】 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭个小孩中有女孩的条件下，个小孩中至少有个男孩的概率为 .【答案】 【分析】记事件该家庭个小孩中有女孩，事件该家庭中个小孩中至少有个男孩，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值.【解答】 记事件该家庭个小孩中有女孩，事件该家庭中个小孩中至少有个男孩，则，，由条件概率公式可得.故答案为：.【例题精析7】 为巩固脱贫攻坚成果，推进共同富裕，我国西部某县政府派出含甲、乙、丙在内的6名农业专家，并分配到3个村庄进行农业技术指导，要求每个村庄至少分配到1名专家，每名专家只能去1个村庄，则在甲、乙两名专家不能分配在同一村庄的前提下，甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄的概率为 ．【答案】 【分析】根据条件概率公式求解即可.【解答】 将6名专家分配到3个村庄的不同分法有（种），其中甲、乙两名专家不分配在同一村庄的分法有（种），甲、乙两名专家不分配在同一村庄且甲、丙两名专家分配在同一村庄的分法有（种）．设事件A表示“甲、乙两名专家不分配在同一村庄”，事件B表示“甲、丙两名专家恰好分配在同一村庄”，则，，故所求的概率为．故答案为：.求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝.(2)样本点法：P(B|A)＝.(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．【对点精练1】 某医疗仪器上有、两个易耗元件，每次使用后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在第一次使用后就要更换元件的条件下，、两个元件都要更换的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】 C【分析】记事件第一次使用后就要更换元件，事件、两个元件都要更换，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值.【解答】 记事件第一次使用后就要更换元件，事件、两个元件都要更换，则，，由条件概率公式可得.故选：C.【对点精练2】 一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（    ）A． B． C． D．【答案】 D【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得、，再结合条件概率的公式计算即可.【解答】 由题意知，， ，所以.故选：D.【对点精练3】 从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，记事件为“抓取的球中至少有两个球同色”，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则 ；在事件发生的条件下，事件发生的概率 ．【答案】 / 【分析】根据题意，由古典概率公式求出，分析事件的取法数目，由此可得和，由条件概率公式计算可得，即可得答案．【解答】 根据题意，从一个装有个白球，个红球和个蓝球的袋中随机抓取个球，有种取法，事件为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则事件的取法有种，则，事件的取法有种，则，，故．故答案为：，．【对点精练4】 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】 (1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)；【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.【解答】 （1）由已知，又，，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为，所以；所以，(ii) 由已知，，又，，所以【对点精练5】 某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，表示“抽到的2名成员都是女生”，表示“抽到的2名成员性别相同”，则 .【答案】 /0.6【分析】求出，，再利用条件概率求解即可．【解答】 由题意可知，，．故答案为：．【对点精练6】 从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 ．【答案】 【分析】根据条件概率公式，结合组合数公式，即可求解.【解答】 因为事件，所以，而，所以.故答案为：【对点精练7】 芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为 【答案】 /【分析】首先设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，得到则，，，，再利用全概率公式求解即可.【解答】 设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，。