高考数学真题分类汇编 解三角形7种常见考法归类（解析版）2021-2025年.docx

高考数学真题 解三角形7种常见考法归类知识五年考情（2021-2025）命题趋势知识1 正余弦定理（5年5考）考点01利用正余弦定理解三角形2025·天津2025·全国二卷 2024·天津2023·上海 2023·天津2023·全国乙卷2022·天津2021·全国甲卷 2021·上海2021·天津1.三角形正余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等都是高考高频考点2.解三角形在高考解答题中，周长面积问题是高考中常考题型，难度一般，容易出现结构不良试题以及与三线相结合，注重常规方法以及常规技巧考点02正余弦定理综合2024·全国甲卷 2023·北京 2022·全国乙卷考点03三角形的面积问题2025·全国一卷2024·新课标Ⅰ卷2024·北京2023·全国甲卷2023·全国乙卷 2023·新课标Ⅱ卷2022·新高考全国Ⅱ卷2022·浙江2021·全国乙卷 2021·新高考全国Ⅱ卷考点04三角形的周长问题2024·新课标Ⅱ卷2022·北京 2022·全国乙卷2021·北京知识2 解三角形的应用（5年5考）考点05正、余弦定理在几何中的应用2025·北京2023·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷 2022·全国甲卷 2021·浙江 2021·新高考全国Ⅰ卷考点06解三角形的最值问题2022·新高考全国Ⅰ卷考点07解三角形的实际应用2024·上海2021·全国甲卷 2021·全国乙卷考点01利用正余弦定理解三角形1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接计算求解即可.【详解】由题意得，又，所以.故选：A2．（2021·全国甲卷·高考真题）在中，已知，，，则（    ）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ．【答案】【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得.【详解】，A为的内角，.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.4．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.5．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，．6．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，即，解得（负舍）；则.（2）法一：因为为三角形内角，所以，再根据正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因为，则（3）法一：因为，且，所以，由（2）法一知，因为，则，所以，则，.法二：，则，因为为三角形内角，所以，所以7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.【详解】（1）已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得（舍去），故；（3）由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故.8．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒(1)若，求b、c；(2)若，求c．【答案】(1)1，；(2)﹒【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值．【详解】（1）∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．（2）∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．9．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.10．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，故．考点02正余弦定理综合11．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.【详解】因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.12．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.13．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．考点03三角形的面积问题14．（2021·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．【答案】【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.15．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.16．（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【详解】（1）由于， ，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．17．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.18．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．【答案】.【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.19．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解。