2021年第二章期权定价.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -其次章 期权定价自从期权交易产生以来,特殊为股票期权交易产生以来,学者们始终致力于对期权定价问题的探讨； 1973 年,美国芝加哥高校教授 F. Black 和 M. Scholes发表《期权定价与公司负债》 一文,提出了著名的 Black-Scholes 期权定价模型,在学术界和实务界引起猛烈的反响, Scholes 并由此获得 1997 年的诺贝尔经济学奖；在他们之后, 其他各种期权定价模型也纷纷被提出, 其中最著名的为 1979 年由 J. Cox.S. Ross 和 M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型；在本章中,我 们将介绍以上这两个期权定价模型,并对其进行相应的分析和探讨；第一节 二叉树与风险中性定价对期权定价的争辩而言, Black-Scholes 模型的提出为具有开创性意义的；然而,由于该模型涉及到比较复杂的数学问题, 对大多数人而言较难懂得和操作；1979 年, J. Cox.S. Ross 和 M. Rubinstein 三人发表《期权定价：一种被简化 的方法》一文,用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型, 这一模型被称为“二叉树定价模型（ the Binomial Model）”,为期权数值定价方法的一种；二叉树 模型的优点在于其比较简洁直观, 不需要太多的数学学问就可以加以应用； 同时,它应用相当广泛,目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一；1.1 二叉树模型概述二叉树（ binomial tree ）为指用来描述在期权存续期内股票价格变动的可 能路径；二叉树定价模型假定股票价格听从随机闲逛, 股票价格的波动只有向上和向下两个方向, 且在树形的每一步, 股票价格向上或者向下波动的概率和幅度保持不变；案例 现有一只股票, 当前价格为 10 元；我们仍知道 3 个月后该只股票的价格变化仅有两种可能性,即可能涨至 12 元,也可能跌到 8 元；那么以该只股票为标的,行权价为 11 元, 3 个月后到期的看涨期权现在的价格应当为多 少呢？也就为说,我们现在要对上面这个期权进行定价；依据第一章我们学到的学问, 不难得出： 3 个月后,假如股票上涨至 12 元,就该股票期权的价格应为 1 元,假如股票下跌至 8 元,就该股票期权的价格应为0 元；这些可以通过下图的二叉树来表示；第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -股票价格 =12 元期权价格 =1 元股票价格 =10 元期权价格 =？股票价格 =8 元期权价格 =0 元图 2-1现在我们来考虑建立一个无风险投资组合, 这个投资组合由两部分组成： 买入 只该股票, 同时卖出一份以该股票为标的的看涨期权, 即同时持有 只股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸； 我们假设市场上不存在套利机会, 因此我们总能找到一个 ,使得该投资组合为无风险组合；我们接下来运算出访得该组合无风险的 ；当股票价格由 10 元上涨为 12 元时,组合中股票头寸的价值为 12 ,期权头寸的价值为 -1 元（我们持有的为空头头寸）,该组合的整体价值就为 12 -1 ；当股票价格由 10 元下跌至 8 元时,组合中股票头寸的价值为 8 ,期权头寸的价值为 0,该组合的整体价值为 8 ；只有当该投资组合在上述两种情形下的终端价值相等时,该组合才为无风险组合；即：12 -1=8因此,该无风险投资组合为由 只股票的多头持仓和 1 份看涨期权的空头持仓所构成； 留意, 在此我们假定了股票为无限可分割的, 并且不存在佣金等交易税费；无套利均衡定价为金融工程学中对金融工具进行定价的基本思路； 其基本做法为,构建两个资产组合,如令其终值（期末的价值）相等,就其现值（当前的 价值）也确定相等； 否就就将产生套利机会, 即我们可以卖显现值较高的资产组合,买入现值较低的资产组合,并持有到期,套利者就可以猎取无风险收益；在上例中,假如股票价格上涨为 12 元,该组合价值为 12 -1=2 元第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -假如股票价格下跌至 8 元,就该组合的价值为80.25=2 元由于该投资组合为无风险的,因此其收益率确定等于无风险收益率；假设当 前无风险收益率为 4%,那么该组合的现值应为终值 2 元的贴现值；在此我们使用连续复利进行运算,即该组合的现值为2e 4% 3/121.98 元假定期权当前的价格为 f ,已知股票当前价格为 10 元,那么该交易组合的现值为10 -f=2.5-f=1.98 元 f=0.52 元因此,本例中看涨期权当前的价格应为 元 ；1.2 推广——单步二叉树期权定价接下来,我们将上面例子得到的结论进行推广；假定股票的当前价格为S0 ,看涨期权当前的价格为 f ,该期权的有效期为 T；在这段时间内,股票价格或者会从 S0 上涨至uS0 ,或者会从S0 下跌至dS0 ,其中 u>1,0