空间中直线与直线之间的位置关系.docx

空间中直线与直线之间的位置关系［学习目标］1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线 所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.尹知识梳理 自主学习知识点一空间中两条直线的位置关系1. 异面直线(1) 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交， 也不平行.②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 y7-—'\有au a, bu &，即a, b分别在两个不同的平面内，但是因为aCb=O,所以a与b不是异面直线. / 一 '(2) 画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常 需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感如图所示，a与b为异面直 线.(3) 判断方法内容方法定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平反证法 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2. 空间中两条直线位置关系的分类(1) 按两条直线是否共面分类［相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 J共面直线」回线［平行直线：同一平面内，没有公共点I异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）按两条直线是否有公共点分类〃有且仅有一个公共点一一相交直线无公共点平行直线异面直线思考（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?（2）两条垂直的直线必相交吗？答（1）不一定.可能相交、平行或异面.（2）不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.知识点二公理4（平行公理）文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言a〃c]是a〃b b〃cj图形语言知识点三空间等角定理1.定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.符号语言OA〃O‘ A'，OB〃O‘ B'习 ZAOB=ZAZ O' B‘ 或 ZAOB+ZAZ O' B'=180°图形语言/ / A' B-工ZL 0 A 0 A作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1. 概念：已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线a'〃a, b'〃b，我们把a， 与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2. 异面直线所成的角6的取值范围：0*W90°.3. 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面 直线a, b,记作a±b.4. 异面直线所成的角的两种求法（1）在空间任取一点O,过点O分别作a'〃a，b，〃b，则a，与b所成的锐角（或直角） 为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(Jt（2）在其中一条直线上任取一点（如在b上任取一点）0,过点O作另一条直线的平行线（如过 点O作a，〃a），则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a，所成 的角），然后通过解三角形等方法求角（如图）.尹题型探究 重点突破题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD—A，B，C，D，中，A，D，所在直线为a, AB所在直线为b, 已知a 和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD—A，B，C，D，中的B，C，， CC，，DD，.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位 G置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是⑵直线AB与直线BC的位置关系是 1 1(3) 直线D1D与直线D1C的位置关系是⑷直线AB与直线B1C的位置关系是. 答案(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面 解析序号结论理由(1)平行因为A1D1 ^ BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以入卢〃卬(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1DnD1C=D1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内题型二公理4、等角定理的应用例2 E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A0 即的中点，求证：四边形B^DF是平行 四边形.证明设Q是DD1的中点，连接 EQ, QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ//AD .1 1又因为在矩形ABCD中，AD // BC , 1111 1 1 1 1所以EQ//BC .11所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以B]E // CQ.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以 QD // CF.1所以四边形DQC1F为平行四边形.所以 CQ // FD .1又因为 B] E // CQ，所以 B] E // FD .所以四边形BEDF为平行四边形. 1跟踪训练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC， ；CD，DA 的中点.(1) 求证：E, F, G, H四点共面；(2) 若四边形EFGH是矩形，求证：ACXBD.证明(1)在^ABD中，•.•E，H分别是AB, AD的中点，.•.EH〃BD.同理 FG〃BD，则 EH〃FG.故E，F，G，H四点共面.⑵由⑴知EH〃BD，同理AC〃GH.又• .四边形EFGH是矩形， AEHXGH.故 ACXBD.题型三异面直线所成的角例3如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=CD，AB±CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角. "、解 如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，AB=CD， ■；所以 EG〃CD，GF〃AB，1 1 住二一：…*且 EG=-CD，GF=-AB. 顼所以ZGFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG=GF.因为ABXCD，所以 EGXGF.所以 ZEGF=90°.所以AEFG为等腰直角三角形.所以ZGFE=45°，即EF与AB所成的角为45°.跟踪训练3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD 的中点，求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G，连接EG，FG， *、则 EG// 2AB，GF// 2cD.故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所成的角， 直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角. /• AB 与 CD所成的角为 30°，AZEGF=30°或 150°. '由AB=CD，知EG=FG，.・・^EFG为等腰三角形.当 ZEGF=30° 时，ZGEF=75°；当 ZEGF=150° 时，ZGEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或 75°.转化与化归思想例5在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a, E, F分别是AB, CD的中点，EF=.J3a，求异面 直线AD，BC所成的角.分析 要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至一个三 角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则ZEMF（或 其补角）为所求角.解 如图，取BD的中点M.由题意，知EM为ABAD的中位线， 疽所以 EM〃AD 且 EM=|aD.同理，MF〃BC 且 MF=BC.乙所以EM=a，MF=a，且匕EMF（或其补角）为所求角.在等腰△ MEF中，取EF的中点N，连接MN，则MNXEF.又因为EF='寸3a，•云所以EN=-a.乙故有 sinZEMN=fN=^.EM 2所以ZEMN=60°，所以ZEMF=2ZEMN=120°.因为匕 EMF=120°>90°，所以AD，BC所成的角为匕EMF的补角， 即AD和BC所成的角为60°.反证法的合理应用例6如图，三棱锥P-ABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.g分析 利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一 个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有 效的方法.证明 假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面a内，因为PEa，EEa，所以PE a.又因为CePE，所以CEa.所以点P，A，B，C都在平面a内.这与P，A，B，C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.尹当堂检测 自查自纠1. 若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A. 共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面2. 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面 D.相交3. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（）A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4. 如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异 面直线的图形有.（填序号）5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为尹课时箱练 一、选择题1. 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A. 一定平行 B. 一定相交C. 一定异面 D.相交或异面2. 已知空间两个角a，&，a与&的两边对应平行，且a=60°,则&等于（ ）A.60° B.120° C.30° D.60° 或 120°3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线B%与CR所成的角为（）A.30° B.45° C.60° D.90°4. 下面四种说法：① 若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；② 若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③ 若a〃b，则a、b与c所成的角相等；④ 若a±b，b宜，则a〃c.其中正确的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.15. 空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 （）A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形6. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD， AC的截面四边形的周长为（）A.10B.20C.8D.47. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述 正确的是（）A. CC1与B1E是异面直线 卜B. C1C与AE共面C. AE与。