映射与函数习题（精编版）.pdf

广州至慧教育学生姓名就读年级授课日期教研院审核【知识点回顾 】1.函数的概念一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合 A 中的每一个（任意性） 元素 x，在集合 B 中都有（存在性） 唯一（唯一性） 的元素 y 和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合 B 的一个函数 （三性缺一不可）函数的本质： 建立在两个非空数集上的特殊对应这种“ 特殊对应 ” 有何特点： 1).可以是 “ 一对一 ” 2).可以是 “ 多对一 ” 3).不能“ 一对多”4). A 中不能有剩余元素5).B 中可以有剩余元素判断两个函数相同： 只看定义域和对应法则2.映射的概念一般地，设 A、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping） 思考：映射与函数区别与联系？函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性” ： “有序性”： 映射是有方向的， A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射；“存在性”：对于集合 A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应；“唯一性”：对于集合 A 中的任何一个元素， 在集合 B 中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果 A、 B 都是非空数集，那末 A 到 B 的映射 f:A B 就叫做 A B 的函数。

记作： y=f (x).（2）定义域： 原象集合 A 叫做函数 y=f (x)的定义域3）值域： 象的集合 C叫做函数 y=f (x)的值域定义： 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 aA， bB如果元素 a和元素 b 对应，那么我们把元素b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素 b 的原象给定映射 f：AB则集合 A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象问题 1：下图中的（ 1） （2）所示的映射有什么特点？答：发现规律：（1）对于集合 A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，我们把这样的映射称为 单射2）集合 B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射定义： 一般地，设 A、B 是两个集合 f：AB 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 的不同元素，在集合B 中有不同的象，且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到 B 上的一 一映射注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A 到 B 是映射， B 到 A 也是映射)(BC单满一 一 映01249A014964B2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是一 一映射的必要而不充分条件3）一 一映射： A 和 B 中元素个数相等。

例 2：判断下面的对应是否为映射，是否为一一映射？1）A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64, 对应法则 f：a b = (a-1)2答：是映射，不是一一映射 （如右图所示可以很容易可能出 ）2）A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4, 对应法则 f：求平方根？答：不是映射3）A=Z，B=N* ，对应法则f：求绝对值？答：不是映射4）A=11,16,20,21,B=6,2,4,0, 对应法则 f：求被 7除的余数答：是映射，且是一一映射例 3：已知集合，(x,y)|x,y ，f 是从到的映射f:x(x+1,x2) . （）求2在 B 中的对应元素（） (2,1)在中的对应元素解:（1）将 x=2代入对应关系，可得其在中的对应元素为（2+1，2）（2）由题意得：x+1=2 x2=1 x=1 即（2,1）在 A中的对应元素为1例 4：设集合 A=a、b,B=c 、d、e （1）可建立从 A 到 B 的映射个数 . （2）可建立从 B 到 A 的映射个数 . 答：9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，那么从集合A 到集合 B 的映射共有nm个。

映射例题精解 】例 1 在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？设 A=1,2,3,4，B=3,5,7,9，对应关系是 f(x)=2x+1,x属于 A 设 A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是 A中的元素开平方设 A=R ，B=R,对应关系是 f(x)=x的 3 次方， x 属于 A 设 A=R,B=R, 对应关系是 f(x)=2x的 2 次方+1，x 属于 A 解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在 A中都有对应例 2 设 A=a,b,c,B=0,1,请写出两个从 A到 B的映射从 A 到 B 的映射共有 23=8个：（a，b，c）（0，0，0） ；（a，b，c）（0，0，1） ；（a，b，c）（0，1，0） ；（a，b，c）（1，0，0） ；（a，b，c）（0，1，1） ；（a，b，c）（1，0，1） ；（a，b，c）（1，1，0） ；（a，b，c）（1，1，1） 例 3 假设集合m=0 -1 1 n=-2 -1 0 1 2 映射 f :MN 满足条件 “对任意的x 属于 M ,x+f(x) 是奇数 ” ，这样的映射有_个当 x=-1 时， x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“ 使对任意的x 属于 M ， 都有 x+f(x)是奇数 ”f(-1)=-2,0,2 当 x=0 时， x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x 属于 M ，都有 x+f(x)是奇数 ”可知 f(0) 只能等于 -1 和 1 当 x=1 时， x+f(x)=1+f(1)恒为奇数f(1)=-2,0,2 综上 可知，只有第种情况有限制，所以这样的映射共有323=18 个例 4 设集合 A=-1 ，0，1 B=2 ，3，4，5，6 从 A到 B的映射 f满足条件：对每个XA 有 f （X）+X 为偶数 那么这样的映射f 的个数是多少？映射可以多对一，要让f（X）+X偶数，当 X1 和 1 时，只能从 B中取奇数，有3，5 两种可能，当 X0 从 B中取偶数有 2 4 6 三种，则一共有22312 个以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案, 在第一类方案中有 m种不同的方法 , 在第二类方案中有n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有N=m+n 中不同的方法 , 这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤, 做第一步有m种不同的方法 , 做第二步有 n 种不同的方法 .那么完成这件事共有N=m n种不同的方法例 5 已知：集合 , , Ma b c， 1,0,1 N，映射:fMN满足( )( )( )0f af bf c，那么映射:fMN的个数是多少？思路提示：满足( )( )( )0f af bf c，则只可能00001( 1)0，即( )f a、( )f b、( )f c中可以全部为0，或0,1, 1各取一个解：( ),( ),( )f aNf bNf cN，且( )( )( )0f af bf c有00001( 1)0当( )( )( )0f af bf c时，只有一个映射；当( )( )( )f af bf c、中恰有一个为0，而另两个分别为1，1时，有326个映射因此所求的映射的个数为167 例 6 给出下列四个对应：其构成映射的是（）A只有B只有C只有D只有答案：B提示：根据映射的概念，集合A到集合B的映射是指对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B例 7若函数( )f x满足()( )( ),f xyf xf yx yR，则下列各式不恒成立的（）答案：D提示：令0y有( )( )(0)f xf xf，(0)0f，A正确令1xy，有(3)(2)(1)(1)(1)(1)3 (1)fffffff，B正确令12xy，有111(1)( )( )2 ( )222ffff，11( )(1)22ff，C正确令yx，则(0)( )()ff xfx由于(0)0f，()( )fxf x，于是当0 xy时，()( )0fxf x，故()( )0fxf x不恒成立，故选D例 8已知集合04Pxx，02Qyy，下列不表示从P到Q的映射是（）答案：C提示：C选项中2:3fxyx，则对于P集合中的元素 4，对应的元素83，不在集合Q中，不符合映射的概念例 9集合3, 4A，5, 6,7B，那么可建立从A到B的映射个数是 _ ，从B到A的映射个数是 _答案：9,8提示：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有 3 种对应方法（可对应5 或 6或 7） ，第二步A中的元素4也有这 3 种对应方法 则不同的映射种数13 39N反之从B到A，道理相同，有22228N种不同映射例 10如果函数3( )()f xxa对任意xR都有(1)(1)fxfx，试求(2)( 2)ff的值解：对任意xR，总有(1)(1)fxfx，当0 x时应有(10)(10)ff，即(1)(1)ff(1)0f又3( )()f xxa，3(1)(1)fa故有3(1)0a（，则1a3( )(1)f xx33(2)( 2)(21)( 21)26ff【课堂练习】1设 f:A B 是集合 A到集合 B的映射，则正确的是（）AA中每一元素在 B中必有象BB中每一元素在 A中必有原象CB中每一元素在 A中的原象是唯一的DA中的不同元素的象必不同2集合 A=3,4,B=5,6,7,那么可建立从 A到 B的映射个数是 _，从 B到 A的映射个数是 _. 3设集合 A和 B都是自然数集 N，映射 f:A B 把集合 A中的元素 n 影射到集合 B中的元素nn2， 则在映射 f 下， 象 20 的原象是（） A.2 B.3 C.4 D.5 4 如果(x,y) 在映射 f 下的象是 (x+y,x-y)， 那么(1,2) 在映射下的原象是（）A.（3，1） B.（21,23） C. （23,21） D.（-1 ，3）5. 已知点 (x ，y) 在映射 f 下的象是 (2xy，2xy) ， 求(1) 点（，）在映射f下的像；（）点 (4，6)在映射 f 下的原象 . 6.设集合 A1,2,3,k,B 4,7,a4,a23a,其中 a,kN,映射 f:A B，使 B 中元素 y3x1与 A 中元素 x 对应，求 a及 k 的值. 【综合练习 】一、选择题：1下列对应是从集合A 到集合 B 的映射的是（）AA=R，B=x|x0 且 xR，xA，f：x|x| BA=N，B=N，xA，f：x|x1| CA= x|x0 且 xR，B=R，xA，f：xx2DA=Q，B=Q，f：xx12已知映射 f:AB，其中集合 A3，2，1，1，2，3，4 ，集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的象，且对任意的aA，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合 B 中的元素的个数是（）A4 B5 C6 D7 3设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：AB 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2nn，则在映射 f 下，象 20的原象是（）A2 B3 C4 D54在 x 克 a%的盐水中，加入y 克 b%的盐水，浓度变成c%(a,b0,ab)，则 x 与 y的函数关系式是（）Ay=bcacx By=cbacxCy=cbcax Dy=accbx5函数 y=3232xx的值域是（）A(，1 )(1，) B(，1)(1，) C(，0 )(0， ) D(，0)(1，) 6下列各组中，函数f(x)和 g(x)的图象相同的是（）Af(x)=x，g(x)=(x)2 Bf(x)=1，g(。