新高考数学一轮复习考点过关练习 等差数列的性质（含解析）.doc

微专题：等差数列的性质【考点梳理】1. 等差数列的性质(1)与项有关的性质①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝. ②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. ③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列. ④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2. ⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md. 注：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ap(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量. (2)与和有关的性质①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列. ②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0). ③{an}为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为＝ (bn≠0，T2n－1≠0). 2. 关于an的结论(1)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1. (2)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列. 3. 关于Sn的结论(1)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关. ①若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值. ②若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值. ③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值. (2){an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列. 【题型归纳】题型一：等差中项的应用 1．等差数列​的前项和为​， 则（       ）A．42 B．56 C．63 D．702．在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（       ）A． B． C． D．3．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）A． B． C． D．题型二：利用等差数列的性质计算4．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（       ）A． B．当时，取得最小值C． D．使得成立的最大自然是n是175．等差数列 ​的前​项和为​， 则​（       ）A．42 B．56 C．63 D．706．已知等差数列的前n项和为，且，则（       ）A．40 B．45 C．80 D．90题型三：等差数列片段和的性质及应用 7．在等差数列中，其前项和为，若，则（       ）A． B． C． D．8．已知等差数列的前n项和为，若，，则（       ）A．－10 B．－20 C．－120 D．－1109．已知数列是等差数列，，则（       ）A． B． C． D．【双基达标】10．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的最大值为（       ）A．5 B．512 C．1024 D．204811．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（       ）A． B． C． D．12．已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则（       ）A．20 B． C．40 D．13．两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（       ）A． B． C． D．14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a2=7，am+am-1=73(m≥3)，Sm=2020则m的值为（       ）A．100 B．101 C．200 D．20215．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（       ）A． B．C． D．16．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上､中､下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a=9.若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（       ）种.A．12 B．24 C．16 D．3217．设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（       ）A． B． C． D．18．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于（       ）A．1 B．2 C．9 D．1019．已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值是A．7 B．8 C．9 D．1020．在等差数列中，已知，则该数列第项（       ）A． B． C． D．21．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（       ）A．27 B．3 C．1或3 D．1或2722．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（       ）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．23．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（　　）A．0 B．10 C．15 D．3024．设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为（       ）A．15 B．16 C．17 D．1825．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64 B．96 C．128 D．160【高分突破】一、 单选题26．在数列中，若，，，则数列的通项公式为（       ）A． B．C． D．27．已知等差数列满足，，公差为d（不为0），数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是（       ）A． B． C． D．28．已知等差数列的前n项和为，若，则（       ）A． B． C． D．29．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（       ）A．35 B．33 C．16 D．2930．设等差数列的前n项和为，若，，则（       ）A．28 B．32 C．16 D．2431．设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则（       ）A．8 B．52C．45 D．7232．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（       ）A． B． C． D．33．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为A．2 B． C．3 D．34．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（       ）．A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定二、多选题35．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（       ）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为36．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，则成等比数列37．(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（       ）A．公差d＝－4B．a2＝7C．数列{an}为递增数列D．a3＋a4＋a5＝8438．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题中正确的有（       ）A．若，则B．若，则使的最大的n为15C．若，，则中最大D．若，则三、填空题39．已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.40．在等差数列中，已知，则___________.41．已知等差数列的前项和为，且，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号）42．已知数列满足：，，，（），则_______.43．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.44．等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则＝______.四、解答题45．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．46．已知实数成等差数列，求证：成等比数列.47．已知数列的前n项和为，且，，为等差数列；数列满足，.(1)求数列的前n项和；(2)若对于，总有成立，求实数m的取值范围.48．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为．49．已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前101项和．第 7 页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1．C【解析】【分析】根据等差数列的性质，可得的值，代入等差数列前n项和公式，即可得答案【详解】因为为等差数列，所以，解得，所以.故选：C2．D【解析】【分析】利用等比数列的基本量即可完成相应的计算.【详解】设等比数列的公比为，由题意，，即，，则，，则，所以D正确.故选：D.3．C【解析】【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.故选：C.4．D【解析】【分析】根据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可【详解】对于A，因为等差数列中，，，所以，所以公差，所以A正确，对于B，由于，，，所以前9项均为负数，所以当时，取得最小值，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，因为，所以，， ，，所以使得成立的最大自然是n是18，所以D错误，故选：D5．C【解析】【分析】根据等差数列的性质，等差数列前n项和公式，即可得答案【详解】因为为等差数列，所以.故选：C6．B【解析】【分析】由等差数列的性质计算．【详解】．故选：B．7．D【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故故选：D8．C【解析】【分析】利用数列的运算性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.【详解】，。