
《第四章金属自由电子理论》.docx
7页第四章金属自由电子理论1. 金属自由电子论作了哪些假设?得到了哪些结果?解:金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立,如同理想气体中的粒子一样是“自由”的,每个电子的运动由薛定谓方程来描述;电子满足泡利不相容原理,因此,电子不服从经典统计而服从量子的费米-狄拉克统计根据这个理论,不仅导出了魏德曼一佛兰兹定律,而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的2. 金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状?费米能量与哪些因素有关?解:金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形费米能量与电子密度和温度有关3. 在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多,为什么?解:因为在低温时,大多数电子的能量远低于费米能,由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发,而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献4. 驰豫时间的物理意义是什么?它与哪些因素有关?解:驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间,它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、子所带电量及金属的电导率有关5. 当2块金属接触时,为什么会产生接触电势差?解:由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同,所以这2块金属接触时,会产生接触电势差。
6. 已知一维金属晶体共含有N个电子,晶体的长度为L,设T0K试求:(1) 电子的状态密度;(2) 电子的费米能级;(3) 晶体电子的平均能量解:(1)该一维金属晶体的电子状态密度为:(1)dZdZdk(E)———dEdkdE考虑在k空间中,在半径为k和kdk的两线段之间所含的状态数为:(2)2dkL..dZ—dkk又由于2k22m所以dEdk2k(3)2个自旋相反的电子,得该(4)将(2)和(3)式代入(1)式,并考虑到每个状态可容纳一维金属晶体中自由电子的状态密度为:(E)Li(2)由于电子是费米子,服从费米一狄拉克统计,即在平衡时,能量为E的能级被电子占据的几率为:f(E)EefKbTe(5)于是,系统中的电子总数可表示为:(6)f(E)(E)dE由于T0K,所以当EEFEE0,有f(E)1,故(式可简化为:E0(E)dE0由此可得:E0(3)在TEf2Lm■;2EdE4LmE0\2N2228mL20K时,晶体电子的平均能量为:—1_E°-Ef(E)N0(E)dE=E0E02L,mdE:2E2L0.2m(EF)3NN224mL27.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子,电子的能量为E(kx,ky)222—(kxky)。
2m试求:(1)(2)(3)EdE之间的状态数;能量E此二维系统在绝对零度的费米能量;电子的平均能量解:(1)K空间中,在半径为k和kdk的两圆面之间所含的状态数为(1)2kdk—kdk2这也就是能量在E〜EdE之间的状态数,由电子的能量表达式可得2mEkdkL22m21EdE野(2)将(2)式代入(1)式,并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子,这样可得能量.2.2在E〜EdE之间的状态数为dZ2四^dE%dE222(2)由(1)问可知,该系统的自由电子的状态密度为(E)dZmL2dE在绝对零度下,由下式E?N0(E)dEE0mL22dEfEF由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为eFN2mL2(3)电子的平均能量为E01E0E(E)dE0E0Ef2mL2"EdEmL21N_22mL28.金属锂是体心立方晶格,晶格常数为-103.510m试计算绝对零度时电子气的费米能量EF(以eV表示)解:由题意可求得金属锂的电子浓度为228on—?^34.6610/m3a3(3.510)3故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为E02——(3n2m(1.05529.1134210卜(34.661028311023.142)37.571019J4.72eV9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成cv(2.08T2.57T3)若1mol的钾有N61023个电子,试求钾的费米温度TF和德拜温度解:根据金属自由电子气模型,低温下金属的总比摩尔热容为:上式中,No故:E0又由CvNo2kB■^ET2k22eFNoCVe2.082k2C/cTbT3124NokB5D102361022.08103.—0_0一kBTFEf碍124N0kB30B2.5710322323.14(1.3810)19^-32.70810J4.16103tF0_一_192.708101.38102341.96210K10.试比较1mol金属钠在30K和0.3K时的德拜比热容,并与电子比热容比较。
已知钠的德拜温度D150k,钠的费米能级EF3.23eVo52.57103123如4610231.38102390.9k解:在30K时,1mol金属钠的德拜比热容为以牛NkB(工)32123.1426.025D_23_2330310231.381023(——)31501.57J/K而其电子比热容为2CVeyNk2233.1423231.3810306.02101.3810(1923.231.6100.0328J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为在0.3K时1mol金属钠的德拜比热容为以兰-NkB(工)3123.142D23230.336.02101.3810(——)1501.57106J/K而其电子比热容为CVe"NkB(~j^F)2ef3.1422,一一236.0210231.381023(03)3.231.6101943.28104J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为1.571063.281044.7910311. 有一鸨丝,长0.05m,横截面积的直径为1X10-4m试求2000K时鸨丝的热电子发射电流已知鸨的电子逸出功为4.5eV解:由里查孙一杜师曼定律可知鸨丝的热电子发射电流密度为AT2W/(kBT)e故热电子发射电流为754.2102000e4.51.61019/(1.3810232000))14.05A/m2jS14.053.1411041.103107A12. 室温下利用光电效应已测得银及钳的光电效应阀值分别为4.8eV和1.8eV。
求:(1) 采用里查孙-杜师曼公式分别估算银及钳在室温下的热电子发射电流密度;(2) 若温度上升至800K时,其热电子发射电流密度为多少?(3) 若把银与使两种金属接触在一起,求出室温下它们的接触电势差解:(1)在室温下银的热电子发射电流密度为AAgT2eWAg/(kBT)1.21062982e19234.81.610/(1.3810298)8.361071A/m2在室温下俺的热电子发射电流密度为2Wcs/(kBT)jAcsTe621.81.610298e19231.610/(1.3810298)5.471020A/m2(2)在800K时银的热电子发射电流密度为2WAg/(kBT)jAAgTeg1.21068002e4.8__19___231.61019/(1.3810800)__19n4.7210A/m2在800K时俺的热电子发射电流密度为2Wcs/(kBT)jAcsTe621.81.610800e__19___231.61019/(1.381023800)4.80A/m2(3) 若把银与使两种金属接触在一起,它们的接触电势差为1-(WAgWcs)3VeVd13. 利用电子漂移速度v的方程,dvv.m()edt证明在频率下的电导率为1i,]°()22其中(0)ne/m0。
解:设电场为0e则有m(dvdtit0edvdt齐次方程也dt0的通解为ce设非齐次方程的特解为vAeiAe1Aeit从上式可求出特解的待定系数A为e0_m(1故非齐次方程的通解为tcem(1i)上式中的第一项随时间的增大迅速衰减,表示电子在电场作用下的驰豫过程,对电流没n个电荷为e的有贡献,对电流有贡献是第二项,如果在电场的作用下,单位体积内含有电子,则其电流密度j()n(e)vn^°^()m(1i)2(0)ne1m(1i)其中(0)2ne。












