高中数学解题基本方法之换元法.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元， 理论依据是等量代换，目的是变换 争论对象， 将问题移至新对象的学问背景中去争论， 从而使非标准型问题标准化、 复杂问题简洁化，变得简洁处理换元法又称帮助元素法、 变量代换法 通过引进新的变量， 可以把分散的条件联系起来， 隐含的条件显露出来， 或者把条件与结论联系起来 或者变为熟识的形式， 把复杂的运算和推证简化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中， 某个代数式几次显现， 而用一个字母来代替它从而简化问题， 当然有时候要通过变形才能发觉例如解不等式： 4 x ＋ 2 x － 2≥ 0，先变形为设 2 x ＝ t （ t>0 ），而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元。

如求函数 y ＝ x ＋ 1 x 的值域时，易发觉 x ∈[0,1] ，设 x＝sin 2 α ，α ∈ [0, ] ，问题变成了熟识的求三角函数值域为什么会想到如此设，其中2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（主要应当是发觉值域的联系， 又有去根号的需要 如变量 x、y 适合条件 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2r>0 ）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结时，就可作三角代换 x＝ rcos θ 、y ＝ rsin θ 化为三角问题S S可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结均值换元，如遇到 x＋ y ＝ S 形式时，设 x ＝＋ t ， y ＝2 2－ t 等等可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原就，换元后要留意新变量范围的选取， 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴， 不能缩小也不能扩大 如上几例中的 t>0 和α ∈ [0, ] 2Ⅰ、再现性题组：1.y ＝ sinx · cosx ＋ sinx+cosx 的最大值是 。

a2. 设 f〔x 2 ＋ 1〕 ＝log 〔4 － x 4 〕 （ a>1），就 f〔x〕 的值域是 3. 已知数列 {a n } 中， a 1 ＝－ 1， a n 1 · a n ＝ a n 1 － a n ，就数列通项 a n ＝ 4. 设实数 x、y 满意 x 2 ＋2xy － 1＝0，就 x＋y 的取值范畴是 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结5. 方程1 3 xx ＝ 3 的解是 1 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x x 16. 不等式 log 2 〔2 － 1〕 · log 2 〔2 － 2〕 〈2 的解集是 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2【简解】 1 小题： 设 sinx+cosx ＝ t ∈[ － 2 , 2 ] ，就 y ＝ t21＋ t －1，对称轴 t ＝－ 1，2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结当 t ＝ 2 ， y max ＝＋ 2 。

2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结a a2 小题：设 x 2 ＋ 1＝ t 〔t ≥ 1〕 ，就 f〔t〕 ＝log [-〔t-1〕 2 ＋ 4] ，所以值域为 〔 －∞ ,log 4] 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3 小题： 已知变形为1 1－a n 1 a n1＝－ 1, 设 b n ＝1，就 b1 ＝－ 1,b n ＝－ 1＋ 〔n － 1〕〔-1〕a n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结＝－ n，所以 a n ＝－ n4 小题：设 x ＋ y＝ k，就 x 2 － 2kx ＋1＝ 0, △＝ 4k 2 － 4≥ 0, 所以 k ≥ 1 或 k ≤－ 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结5 小题：设 3x ＝y ，就 3y 2＋ 2y－ 1＝ 0, 解得 y ＝1，所以 x ＝－ 13可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结26 小题：设 log〔2 x － 1〕 ＝ y，就 y〔y ＋ 1〕<2 ，解得－ 2

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结Ⅱ、示范性题组：例 1. 实数 x 、y 满意 4x 2－ 5xy ＋4y2 ＝ 5 （ ①式） ，设 S＝ x2 ＋ y 2 ，求1Smax1＋Smin可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结的值 93 年全国高中数学联赛题）【 分析】 由 S＝ x 2 ＋ y 2 联 想到 cos 2 α ＋ sin 2 α ＝ 1, 于是进行 三角换 元，设可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x S cos αy S sin α代入①式求 S max 和 Smin 的值可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x S cos α【解】设代入①式得： 4S － 5S· sin α cos α ＝ 5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结y S sin α可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结解得 S ＝108 5 sin 2 α10 10 10可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结∵ -1 ≤ sin2 α ≤ 1 ∴ 3 ≤ 8－ 5sin2 α ≤ 13 ∴≤ ≤13 8 5 sin 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1∴Smax1＋Smin3 13 16 8＝ ＋ ＝ ＝10 10 10 58S 10可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结此种解法后面求 S 最大值和最小值， 仍可由 sin2 α ＝的有界性而求， 即解不等S可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结式： |8S 10 S| ≤ 1。

这种方法是求函数值域时常常用到的“有界法”可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【另解】 由 S＝ x 2 ＋ y2 ，设 x 2 ＝S＋ t ， y 2 ＝2S S S－ t ， t ∈[ － ， ] ，2 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结就 xy ＝±S － t 224代入①式得： 4S± 5S － t 224=5，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结移项平方整理得 100t 2 +39S2 － 160S＋ 100＝ 0 ∴ 39S 2 － 160S＋ 100≤ 0 解得： 10 ≤ S≤ 10可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1∴Smax1＋Smin3 13＝ ＋ ＝10 1013 316 8＝10 5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件 S＝ x 2 ＋ y 2 与三角公式 cos 2 α ＋sin 2 α ＝ 1 的联系而联想和发觉用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

其次种解法属于“均值换元法”，主要是由等式 S＝ x 2 ＋ y 2 而根据均值换元的思路，设 x 2 ＝ S ＋ t 、 y 2 ＝ S － t ，削减了元的个数，问题且简洁求解另外，仍用到了求值2 2域的几种方法：有界法、不等式性质法、分别参数法和“均值换元法”类似，我们仍有一种换元法，即在题中有两个变量 x、y 时，可以设 x＝a＋ b，y＝ a－ b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式此题设 x ＝ a＋ b， y可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结＝a－ b，代入①式整理得 3a 2＋ 13b 2＝ 5 ，求得 a2 ∈ [0,5] ，所以 S＝ 〔a － b〕32 ＋ 〔a ＋ b〕 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结＝2〔a2 。