高中数学人教A版1测评3.2-第1课时-利用向量证明空间中的平行关系含解析.docx

第三章空间向量与立体几何3.2　立体几何中的向量方法第1课时　利用向量证明空间中的平行关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析A中,m·n=-2≠0,所以排除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以排除B;C中,m·n=-1,所以排除C;D中,m·n=0,所以m⊥n,能使l∥α.故选D.答案D2.已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是(　　)A.长方形 B.正方形C.梯形 D.菱形解析因为PQ=BQ-BP=12BC-12BA=12AC.同理SR=12AC,所以PQ=SR,所以四边形PQRS为平行四边形.又PS=AS-AP=12AD-12AB=12BD,所以|PS|=12|BD|,即PS=12BD.又|PQ|=12|AC|,故PQ=12AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.答案D3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(　　)A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交解析AB=(0,5,-3),坐标平面yOz的一个法向量为n=(1,0,0),因为AB·n=0,所以AB⊥n.故线段AB与坐标平面yOz平行.答案C4.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=　　　　　,z=　　　　　. 解析因为v∥AB,而AB=(-1,2-y,z-3),所以-12=2-y-1=z-33,所以y=32,z=32.答案32　325.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是　　　　　.(填序号) ①AB;②AA1;③B1B;④A1C1.解析因为在直棱柱中,侧棱与底面垂直,即AA1⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,C1C⊥平面ABC,所以B1B与AA1可以作为平面ABC的法向量.答案②③6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),又n为平面ACD1的一个法向量,∴n·AC=0,n·AD1=0,∴(x,y,z)·(-1,1,0)=0,(x,y,z)·(-1,0,1)=0,化简,得x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).(答案不唯一)7.已知三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB⇒BD∥AC,DC∥AB,因此(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),⇒x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).8.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.证明如图:设PD=a,PE=b,PF=c,则PA=2a,PB=2b,PC=2c,所以DE=b-a,DF=c-a,AB=2b-2a,AC=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=xAB+yAC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2xDE+2yDF,因此e与DE,DF共面,即e∥平面DEF,所以l⊄平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.能力提升1.若AB=λCD+μCE,则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内解析∵AB=λCD+μCE,∴AB,CD,CE共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D2.若点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为(　　)A.(bc,ac,ab) B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc)解析设法向量为n=(x,y,z),则AB·n=0,AC·n=0,则-ax+by=0,-ax+cz=0,所以n=(bc,ac,ab).答案A3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于(　　)A.3 B.6 C.-9 D.9解析∵l⊥α,v与平面α平行,∴u⊥v,即u·v=0,∴1×3+3×2+z×1=0,∴z=-9.答案C4.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,12,已知α∥β,则x+y=　　　　　. 解析因为α∥β,所以u∥v.则x-1=1y=-212,即x=4,y=-14,故x+y=154.答案1545.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2,求平面OCB1的法向量n.解∵四边形ABCD是正方形,且AB=2,∴AO=OC=1,∴OC=(0,1,0).∵A(0,-1,0),B(1,0,0),∴AB=(1,1,0),∴A1B1=(1,1,0).∵OA=1,AA1=2,∴OA1=2-1=1,故OA1=(0,0,1),故OB1=OA1+A1B1=(1,1,1).∵向量n=(x,y,z)是平面OCB1的法向量,∴OC·n=y=0,OB1·n=x+y+z=0,故y=0,x=-z,取x=1,故z=-1,∴平面OCB1的法向量n=(1,0,-1).(答案不唯一)6.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.解AB=(4,2,-2),AC=(2,4,-2),设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,则有|n|2=1,n·AB=0,n·AC=0⇒x2+y2+z2=1,2x+y-z=0,x+2y-z=0.取z>0,得x=y=111,z=311.故平面ABC的单位法向量为n=1111,1111,31111.。