线性代数：第四章向量组的线性相关性 (2).ppt

1,第四章 向量组的线性相关性,2,1 向量组及其线性组合,称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量,的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵3,称为行向量称为列向量4,例. 3 维向量的全体所组成的集合,通常称为 3 维Euclid几何空间称为 R3 中的一个平面集合,5,称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面集合,称为 n 维Euclid空间例. n 维向量的全体所组成的集合,6,7,mn 阵 A 的 列向量组:,行向量组:,同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组8,2 向量组的线性相关性,称为向量组 A的一个线性组合，,称为线性组合的系数表达式,9,若存在一组实数,使得,则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合，,或称向量 b 能由向量组 A 线性表示10,例如：,解方程组,既解方程组,11,所以，,得,12,记,13,则方程组的向量表示为,14,定理1:,向量 b可由向量组 线性表示,有解，其中,15,则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，,若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，,定义3: 设向量组 及,则称向量组 A 与向量组 B 等价。

16,B 能由 A 线性表示,17,定理2:,向量组 能由,线性表示,有解，其中,18,定理3:,向量组 能由,线性表示，则 R(B) R(A) 其中,证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B),而 R(B) R(A, B)，因此 R(B) R(A)19,定义4：,20,21,例2:,试讨论向量组 及向量组 的,线性相关性.,22,解：设,即,系数行列式,齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关,23,讨论它们的线性相关性.,结论: 线性无关,解:,上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.,24,一些结论：,一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；,(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;,(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向量线性表示25,定理5-2：m个n维向量(m n)构成的向量组一定线性相关. 特别地, n+1个n维向量线性相关.,则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.,26,设 Kx = 0 ，其中,则,故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3,= 0,27,= 0,故 Kx = 0 ，而 R(K) = 3，于是 x = 0 ，,28,证明：向量,线性无关。

证：,线性无关29,3 向量组的秩,定义1:,简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA,（ii）A的任意向量都可由A0线性表示.,那么称部分组 为向量组 A的一个最大线性无关组，,30,注:,（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身4）向量组 A能由A0线性表示3）向量组的最大无关组一般不是唯一的5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价31,例如：在向量组 中，,32,例如： 向量组 的秩为2注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价向量组 的秩为233,例：设矩阵,矩阵A 的行向量组是,所以矩阵A的行向量组秩为334,矩阵A的列向量组是,所以矩阵A的列秩是335,定理6：矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩 = 矩阵的列向量组的秩,证：矩阵 A 经过初等变换变为行最简形 B,又初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系，,所以，A的秩 A的列向量组的秩,同理，AT 的秩 AT 的列向量组的秩,A 的行向量组的秩,但是， A 的秩 AT 的秩,36,例1：向量组,求向量组的秩和一个最大无关组。

37,解：,38,是一个最大无关组39,例2 ：求矩阵,的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用,这个最大无关组线性表示40,解:,41,42,是一个最大无关组.,43,最大无关组的等价定义:,那么称部分组 为向量组 A的一个,（ii）A的任意向量都能由 线性表示最大无关组44,证：只需证明 A中的任意 r+1个向量都线性相关设 为 A中的 r+1个向量，,由(ii)知，这 r+1个向量能由 A0 线性表示，故,因此，这 r+1个向量线性相关45,线性表示的充要条件是,线性表示，则,46,4 线性方程组解的结构,(1) 齐次线性方程组,或,47,1. 解的性质,则 仍然是 的解性质1：若 是 的解，,则 仍是 的解性质2：若 是 的解，,48,2. 基础解系,线性无关；,49,定理7：,设,是,矩阵，如果,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量50,证明:,化为行 最简形,51,与B对应的方程组,52,53,（2）向量组,线性无关综合(1) (2)得, 向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.,(C),54,的通解是,记,则,是令,为,所得55,例4 : 求下列齐次方程组的通解。

解：,56,初等行变换,行最简形矩阵对应的方程组为,是自由变量2),57,法1：先求通解，再求基础解系,令,则,即,58,法2：先求基础解系，再求通解在(2)中令,得,则通解为,59,解：,例5 : 求下列齐次方程组的通解60,初等行变换,令,得,通解,61,(2) 非齐次性线性方程组,对应的齐次线性方程组,62,例8 : 线性方程组,在三维直角坐标系中分别表示 经过原点的直线在三维直角坐标系中分别表示 不经过原点的平面和,和,63,性质1：,是 的解，则,是,对应的齐次线性方程组,的解性质2：,是 的解，,是对应的齐次线性方程组,的解，则,是 的解64,分析:,若,有解，则其通解为,其中,是 的一个特解，,是 对应的齐次线性方程组 的通解1. 证明,是解；,2. 任一解都可以写成,的形式65,例6 : 求解非齐次方程组,解：,66,67,令,得,68,令,得基础解系,所以原方程组的通解是,69,例7 : 求下列方程组的通解解：,70,令,得,得基础解系,令,所以通解是,71,例: 设,问u, v =?方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解.,解:,当u2时有唯一解;,72,当u= 2, v3时, 无解;,当u = 2, v = 3时,有无穷多解;,通解,73,5 向量空间,定义：设 V 为 n 维向量的非空集合， 若 V 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称集合 V 为向量空间,说明:,集合 对于加法及数乘两种运算封闭指,注意. 0 必是向量空间V 的元素，即,74,例：3 维向量的全体 是一个向量空间。

n 维向量的全体 也是一个向量空间是一个向量空间不是一个向量空间但非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合,75,例：判别下列集合是否为向量空间.,76,不是向量空间解：,所以， 是向量空间77,是否为向量空间.,V 称为由向量a, b生成的向量空间例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合,解：,V 是一个向量空间78,由向量组 所生成的向量空间为,一般地,79,定义：设 V 为向量空间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称 W是 V 的子空间零子空间 V = 0 ,80,线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间81,定义7：设V是向量空间，如果向量,满足,那么，就称向量组,是向量空间V 的,一个基，r 称为向量空间V 的维数，记作dimVr 并称V 是 r 维向量空间82,注：(1)只含有零向量的向量空间 0 -称为零子空间-没有 基，规定其维数为02)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向 量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩3)向量空间的基一般不唯一例.,都是向量空间R3的基83,设,是,的一个基，x 是,中的向量，,则称有序数组,为向量 x 在基,下的坐标。

设,是,的另一个基，并且,则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基,到基,的过渡矩阵。