一元微积分数学函数题库有答案.doc

一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题：1． 函数 y=arcsin 定义域是:2.设y=(x)的定义域是[0，1]，则复合函数(sinx)的定义域是:. 3．函数的值域是 0£y £+µ . 4．函数的反函数是:. 5．函数在区间 内是单调增加的.在区间内是单调减少. 6．设，（x>o）,则=. 7．设,则=, = x . 8．函数的反函数y= .二．选择题：1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）(A) 关于y轴对称; (B) 关于x轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x对称. 2.下列几对函数中，与相同的是（C）. （A）与 （B）与 （C）与 （D）与 3．已知的定义域为则的定义域是（C） （A）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果，那么的表达式是（B）(A) x-1 (B)1-x (C) (D) 都不是三．设函数是线性函数，已知求此函数. 解：设f(x)=ax+b, 则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数在它的整个定义域内是有界. 证明：f(x)的定义域为R. 因为 所以： 函数在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数的奇偶性. 解： 所以 偶函数.一元微积分学题库（2） 数列的极限一．判断题：1．如果数列{}以A为极限，那么在数列｛｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数 列｛｝仍以阿A为极限． ( T )2．如果　，则有　或 ( F )3．如果，且存在自然数N，当n>N时恒有＜０，则必有a<０． ( F )4．如果，均不存在，则有必不存在． ( F ) 一元微积分学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小一． 选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；　（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：　　（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件，.结论　　　　　　　　　　　　　　　　　 （A）２．条件和都存在.　　　　结论存在　　　　　　　　　　 （B）　３．条件和都存在.结论　存在.　　　　　　　　　　 （A）　４．条件f(x)在a的某个邻域内单调有界．结论存在．　　　　　　　　　　 （D）三．求时的左右极限，并说明它们在x0时的极限是否 存在？ 解：=1，所以. 所以 ， 显然，故不存在.五．证明：函数　在区间（０，１］上无界，但当x＋０时，这函数不是 无穷大． 证明：1. 取时，= 所以 在区间（０，１］上无界. 2.取， ==0 即在0的任何邻域都不可能有（M>0）成立. 所以当x＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4） 极限的求法一． 判断题： 下列运算是否正确：　　　　 (F)　　　　　 　　　　　　　　　　　 (F)　　　　 （F）二．计算下列极限：　１．解：==２．解：==2３． 解：设，则 因为=0， 所以 即：４．解：====５．解：因为 所以arctgx为有界函数. 而 =0， 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知. =0６．解：=====７．解： = = =三．已知 解：==0，==3+a,存在，即：=所以. .一元微积分学题库（5） 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1． 因为时，tgx~x,sinx~x,所以 （F）2． (T)3． (F)二、计算下列极限1.解：===2.解：====13.解：====24.解：===1.5.解：===6.解：=====.二、 证明：当x0时，下列各对无穷小量是等价的1.证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当时，. ==12.1-cosx ~ 证明：====1.四、证明：用两边夹法则：（解法一） 设F(n)= >0 则 设 g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 < F(n) < h(n). 显然，； 由极限存在准则I知：.证毕. （解法二）：设F(n)= >0 因为 （n为自然数）， 所以有F(n)< = 设 g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 < F(n) < h(n). 显然，； 由极限存在准则I知：.证毕. 另解： 设F(n)= ( 00 即： 所以为单调有界数列，由极限存在准则II知有极限. ， 则有 ， A=2A--，解得：A=1 或A=0（舍去，因为为递增数列且.） 所以 一元微积分学题库（6） 函数的连续性一． 判断题1． （ T ）2.设在点连续，则 （ T ）3．如果函数在上有定义，在上连续，且0，则在内至少存在一点，使得= 0 （ T ）4．若 连续，则必连续. （ T ）5．若函数在上连续且恒为正，则在上必连续. （ T ）6．若,且，则在的某一邻域内恒有. （ F ）7．是函数的振荡间断点. （ F ）二． 填空题：1．()2. ( 0 )3. ( )4. 是的第（二）类间断点.三． 求 解：=四． 求函数在内的间断点，并判断其类型. 解：在内的间断点有：，，， 因为 不存在， 所以，是的第一类（可去）间断点; ，是的第二类间断点. 五． 设，（1）求；（2）当连续时，求的值. 解：(1) (2) 连续 .一元微积分学题库（7） 连续函数的性质一．计算下列极限： 1． 解：原式= == 2． 解：原式=== 3． 解：原式== 4． 解：原式=== 5． 解：原式=== 6． 解：令，得，当 原式====二．证明方程至少有一个不超过的正根（其中）. 证明：设，则在上连续. 又，. 若，则结论成立. 若，则由零点定理.三．设在上连续，且，证明：至少存在一点，使得 . 证明：设，则在上连续. 又, 若，则结论成立. 若，则由零点定理.四．设在上连续，且，又存在使 .证明在上有最大值. 证明：取 , 当时, . 即 当时，. , 当时, . 即 当时，. 若,为最大值. 若,在上连续,必有最大值. , . 在上取得最大值. 一元微积分学题库（8） 导数的概念一． 选择题：1． 设f′ (x)存在，a为常数，则等于（C）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) ; (D) .2. 在抛物线上，与抛物线上横坐标和的两点连线平行的切线方程 是（B）. (A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t秒后，物体上升的高度为，则物体 在3秒时的瞬时速度为（B）. (A) ; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) .4. 若函数在x=0处 (B). (A) 连续且可导； （B）连续，不可导； （C）不连续； （D）都不是.二．设函数在处x=1可导，求a和b.解：在x=1处可导在x=1处连续，可得 即 (1) 又在x。