任意纬线昼夜长短计算探讨.doc

任意纬线昼夜长短计算探讨杜志忠 广东省东莞市厚街中学（523962）某地的昼夜长短决定于两个因素：当地的地理纬度及当时太阳直射点所在的地理纬度（太阳赤纬）如下面所示昼夜半球示意图中，直射点所在纬线为Q`K`（地理纬度为δ），计算纬线Q``K``（地理纬度为θ）的昼夜长短若要计算纬线Q``K``上的昼夜长短，只需求出其半昼长及半夜长，问题便转化为计算其半昼弧和半夜弧长度如图所示大圆NKS中，弦QK 、Q`K`、Q``K``为各纬线所在平面与大圆NKS所在面的交线，它们与地轴NS分别相交于点O（球心）、O`、O``，与ZZ`（晨昏线所在平面与大圆NKS所在面的交线）分别相交于点O、P`、P``由相应地理知识可知，∠KOK`是太阳直射点所在纬线Q`K`之纬度角，值为δ因∠KOK`与∠NOK`互余，而∠ZON亦与∠NOK`互余，故∠ZON =∠KOK`=δ由于弦QK 与弦Q``K``互相平行，所以∠OK``O``与∠KOK``互为内错角，而∠KOK``为纬线Q``K``之纬度角，故∠OK``O``=∠KOK``=θ∵直角三角形OO``K``中，OO`` = O``K``tg∠OK``O``= O``K`` tgθ； 直角三角形OO``P``中，O``P``= OO`` tg∠O``OP``= OO`` tg∠ZON = OO`` tgδ； ∴ O``P`` = O``K`` tgθtgδ （ ①式）在纬线Q``K``上的昼夜示意图中，为半昼弧，为半夜弧，半昼弧与半夜弧之差为，∠△t为所对之圆心角。

∵ 直角三角形O``P``M``中，∠O`` M`` P``= ∠△t，O``M``= O``K``；∴ O``P``= O``M``sin∠O`` M`` P``= O``K``sin∠△t （②式）∴ O``K``sin∠△t = O``K``tgθtgδ （由①、②两式可得）则sin∠△t = tgθtgδ∠△t = arcsin(tgθtgδ)若以时角（即弧所对圆心角）来表示弧长大小，则每15°弧长所跨时间为1小时（24小时/360°=1小时/15°）在任一纬线，总有四分之一纬线之弧长跨时间为90°÷15°= 6小时，即弧长所跨时间为6小时由于弧长为半昼弧与半夜弧之差，所以弧长（时角为∠△t）所跨时间长度即为半昼长与半夜长之差，记着△T则有： △T = [arcsin(tgθtgδ)]/15° （θ、δ之符号以北半球为正，南半球为负当△T之值为正时，昼长大于夜长，昼长夜短半昼长为 6+△T → 昼长为（6+△T）×2；半夜长为 6-△T → 夜长为（6-△T）×2当△T之值为负时，昼长小于夜长，昼短夜长半昼长为 6+△T → 昼长为（6+△T）×2；半夜长为 6-△T → 夜长为（6-△T）×2。

※ 讨论一：当δ= 0°，即直射点位于赤道上时，△T = [arcsin(tgθtgδ)]/15°= [arcsin(tgθtg0°)]/15° = 0，无论θ为何值，△T皆为零故此时全球昼夜平分当δ≠0°，即直射点位于非赤道的其它纬线上时，在南北半球之中，总有一半球δ与θ符号相同，△T为正值，昼长夜短；而另一半球δ与θ符号相异，△T为负值，昼短夜长※ 讨论二：当θ= 0°时，即求赤道上的昼夜长短，△T = [arcsin(tgθtgδ)] /15° = [arcsin(tg0°tgδ)] /15° = 0无论δ为何值，△T皆为零故无论太阳直射点落在何处，赤道上总是昼夜平分※ 讨论三：I、当θ= 90°-|δ|（θ为正值，表示所求纬线在北半球，纬度为北纬90°-|δ|）时，△T = [arcsin(tgθtgδ)] /15° ={arcsin[tg（90°-|δ|）tgδ]}/15°= [arcsin(ctg|δ|tgδ)] /15°δ为正（表示太阳直射点在北半球），△T = [arcsin(ctgδtgδ)] /15° = 90°/15° = 6（此时，半昼长为6+6 = 12小时，昼长为24小时，即为极昼。

δ为负（表示太阳直射点在南半球），△T = {arcsin[(-ctgδ)tgδ] }/15° = -90°/15° = -6（此时，半昼长为6+(-6)= 0小时，昼长为0小时，即为极夜II、当θ=|δ|-90°（θ为负值，表示所求纬线在南半球，纬度为南纬90°-|δ|）时，△T = [arcsin(tgθtgδ)] /15° = {arcsin[tg(|δ|-90°)tgδ]} /15°= {arcsin[(-ctg|δ|)tgδ]} /15°δ为正（表示太阳直射点在北半球），△T = {arcsin[(-ctgδ)tgδ] }/15° = -90°/15° = -6（此时，半昼长为6+(-6)=0小时，昼长为0小时，即为极夜δ为负（表示太阳直射点在南半球），△T = {arcsin{[-(-ctgδ)]tgδ}} /15° = 90°/15° = 6（此时，半昼长为6+6=12小时，昼长为24小时，即为极昼归纳I、II可知：当δ为正，即太阳直射点在北半球时，在纬度90°-|δ|（即北纬90°-|δ|）处出现极昼，并可推知纬度高于北纬90°-|δ|的地方也出现极昼反之，在纬度|δ|-90°（即南纬90°-|δ|）处出现极夜，并可推知纬度高于南纬90°-|δ|的地方也出现极夜。

当δ为负，即太阳直射点在南半球时，情况与上面刚好相反由以上推论得知半昼夜长差值公式为： △T= [arcsin(tgθtgδ)] / 15°（-6≤△T≤6）则：昼长公式为：T昼长= {6+ [arcsin(tgθtgδ)] /15°}×2 =12+ [2arcsin (tgθtgδ)] /15°夜长公式为：T夜长= {6 - [arcsin(tgθtgδ)] /15°}×2 =12 – [2arcsin (tgθtgδ)] /15°其中：⑴δ为直射点所在纬线的地理纬度，θ为所求纬线的地理纬度；θ、δ之符号以北半球为正，南半球为负；⑵ -23°26`≤δ≤23°26` ，|δ|-90°≤θ≤90°-|δ|[当δ=0°时，公式中θ值不能取±90°，但由于此时全球昼夜平分，故可作特殊情况对待；当0＜δ≤23°26`时，在北纬90°-|δ|及高于北纬90°-|δ|的地方（即90°-|δ|≤θ≤90°时）出现极昼，在南纬90°-|δ|及高于南纬90°-|δ|的地方（即-90°≤θ≤|δ|-90°时）出现极夜；当-23°26`≤δ＜0时，情况刚好相反]例题：当美国洛杉矶为6月22日中午12点时：A．东京、洛杉矶、圣保罗三地日期相同 B．东京比洛杉矶、圣保罗日期早一天C．洛杉矶和东京都处于白天 D．东京、洛杉矶和圣保罗都是昼长夜短解析：当洛杉矶 （西八区）为6月22日中午12点时，计算得东京时间（东九区）为6月23日5时，圣保罗时间（西三区）为6月22日17时。

根据计算结果，可排除A、B两选项；又因夏至日东京、洛杉矶昼长夜短，圣保罗昼短夜长，可排除D选项；答案为C选项从正面来解释C选项：一方面洛杉矶12点时显然处于白天；另一方面，由于东京所在纬度约为北纬35.8°，根据半昼夜长差值公式计算得东京半昼夜长差约为△T = [arcsin(tgθtgδ)] /15° = [arcsin( tg35.8°tg23°26`)] /15° = (arcsin0.3125)/15°≈18.2°/15° ≈1.21，即半昼长比半夜长长约1.21小时，东京提前约1.21小时日出，故东京在6月23日5点时已处于白天Tel：84929168E-mail: hzdzz@ dzz1974@ hzdzz@。