吉林化工学院08-09.2期末考试高数.pdf

吉林化工学院吉林化工学院 2002008 8 ——20092009学年学年第第 二二 学期期末考试学期期末考试 高等数学高等数学试卷试卷 ( (A A ) ) 一一. .判断题（每小题判断题（每小题 2 2 分，共分，共 8 8 分分）） 1. 函数),(yxfz 在点),(yx的偏导数 x z   及 y z   存在是),(yxf在该点可微分 的充要条件 （ ×） 2.函数),(),,(yxQyxP在单连通域G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 dyyxQdx L yxP),(),(  在G内与路径无关的充分必要条件是 xy P     Q 在G内恒 成立 （ √） 3. 设直线 1 L和 2 L的方向向量依次为 1111 ,,pnms   和 2222 ,,pnms   ，两直 线 1 L和 2 L互相垂直相当于 2 1 2 1 2 1 p p n n m m  （ ×） 4. 如果级数  1n n u收敛，则它的一般项 n u当n时以零为极限，即 0lim  n n u （ √） 二二. .填空题（每小题填空题（每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分）） 。

1. 设3 , 1, 2 a  ，1, 2, 1b  ，则ba   =（7，5，-3） 解： 121 312   kji =kji357 2. 设 1 y， 2 y是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，那么该方程的 通解是 2211 ycycy为任意常数） 21, (cc 解：根据定理即得 3. 交换积分次序：  b a x a dyyxfdx),(=   b a b y dxyxfdy),( 4. 设 L 为 下 半 圆 周 2 1xy， 则 曲 线 积 分   L dsyx)( 22 的 值 为  解：令   2 sin cos       y x 则 L dsyx)( 22 =    2 2222 cos)sin()sin(cosd=    2 d= 三三. .选择题（每小题选择题（每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分）） 1. 一平面过点（1，0，-1）且平行于平面13 zyx，则这个平面的方程 是B A.23 zyx;B.43 zyx; C. 3 1 11 1  zyx ;D. 3 1 11 1  zyx 。

解：所求平面法向量为:)3, 1 , 1 (n, 将点（1，0，-1）代入平面点法式方程即 得 B 答案正确 2. 设区域}0, 1| ),{( 22 xyxyxD，则二重积分dxdyxy D  )2(的值为 C A.0;B.2;C.;D.2 解：dxdyxy D  )2(=   DD xydxdydxdy2=2 2  - 0 = 3. 下列级数中收敛的是C A.    1 10 n n ;B.    110 1 n n n ; C.) 1 11 () 1( 1 1       nn n n ;D.  1 1 sin n n 解：) 1 11 () 1( 1 1       nn n n =          1 1 1 1 1 1 ) 1( 1 ) 1( n n n n nn ，两个收敛级数之和仍收 敛 4. 微分方程dxyedye xx )1 (的通解是A A.)1 ( x ecy;B. x ey1; C.) 1ln( xy;D.) 1ln( xcy。

解：将dxyedye xx )1 (分离变量得：dx e e dy y x x   1 1 上式两端积分得：)1 ( x ecy 四四. .计算题（本题计算题（本题 8 8 分分）） 设函数),(xyyxfz，且f具有一阶连续偏导数，求 x z   和 y z   解： 21 yff x v v z x u u z x z                21 xff y v v z y u u z y z                五五. .计算题（本题计算题（本题 8 8 分分）） 计算曲线积分dyxyydxyxx L  )2()2( 22 ，其中2: 22  yxL顺时针方 向 解：令yxxyxP 2 2),(， 2 2),(xyyyxQ，则 2 y x Q    ， 2 x y P    ， 由格林公式，dyxyydxyxx L  )2()2( 22 =dxdyxy D ）（   22   d    2 0 2 0 2 =2。

六六. .计算题（本题计算题（本题 8 8 分分）） 求微分方程 x eyxyx 2 )1 ()0( x满足初始条件0) 1 (y的特解 解：所给方程为一阶线性非齐次方程，先写成标准形式： x e x y x y 2' 1 ) 1 1 ( 对应齐次线性微分方程的通解为: x ce y x  常数变易法：令 x exu y x )( 求导得： 2 '' )()( 1 x exe xuxue x y xx x   代入原方程整理得： x exu)( ' ，即cexu x )(， 原方程通解为：)(ce x e y x x  代入初始条件：ec，特解为：)(ee x e y x x  七七. .应用题（本题应用题（本题 1010 分分）） 设曲线的参数方程为：xt,yt  2, zt 3,求该曲线的与平面 xyz24 平行的切线方程 解：由：         2 3 2 1 tz ty x t t t 得：曲线任意点的切向量为: 2 3 ,2, 1tt, 与平面xyz24平行，就是与法向量垂直， 即0341 2 tt，得 3 1 , 1tt 切点为) 1 , 1, 1 ( 和) 27 1 , 9 1 , 3 1 (， 从而 与xyz24平行的切线有两条: 3 1 2 1 1 1     zyx 和 3 1 27 1 3 2 9 1 1 3 1      zyx 。

八．计算题（本题八．计算题（本题 1010 分分）） 按要求完成下列一个题： 1.（数学 I）设)(xf是周期为2的周期函数，它在],[上的表达式为       .0, 1 , 0, 1 )(   x x xf将)(xf展开成傅里叶级数 2.（数学 II）求幂级数  1n n n x 在1||x上的和函数 3.（数学 III）求幂级数    1 53 n n nn x n 的收敛区间 答案： 1.解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点), 2, 1, 0(kkx处不连续， 在其它点处连续，从而由收敛定理知道)(xf的傅里叶级数收敛， kx 时级数收敛于 0；kx 时，级数收敛于)(xf 计算傅里叶级数如下：      nxdxxfancos)( 1 =nxdxnxdxcos1 1 cos) 1( 1 0     =0, 2 , 1 , 0(n） ；      nxdxxfbnsin)( 1 =nxdxnxdxsin1 1 sin) 1( 1 0     =]) 1(1 [ 2 n n   =          , 6 , 4 , 2, 0 , 5 , 3 , 1, 4 n n n ]) 12sin( 12 1 3sin 3 1 [sin 4 )(  xk k xxxf  =      1 ) 12sin( 12 14 k xk k 2. 解:   1n n n x =dt t dttdtt x n xx n nn            0 1 00 1 11 1 1 =)1ln(x。

3. 解： nna a nnnn n n n n 53 / 1 53 limlim 11 1         =5，故收敛半径R= 5 1 ， 故收敛区间为:（-1/5，1/5） 九．应用题（本题九．应用题（本题 1010 分分）） 按要求完成下列一个题： 1.（数学 I）求均匀曲面 222 zaxy的质心坐标 2.（数学 II）求由xoy平面及 22 zxy和 22 4xy所围成的空间立体的质量 （体密度为常数） 3.（数学 III）平面薄片所占平面区域为,0,1yx yx所围，各点的面密度 ( , )x yxy，求平面薄片的质量 答案： 1.解：由对称性得：0 yx而          dS zdS dS dSz z   ， dxdy yxa a yxazdS xy D 222 222     = 3 a 半球面的面积为 2 2 a，重心坐标为) 2 , 0 , 0( a 2.解：   dvM   2 0 2 0 2 0 r dzrdrd  8 4 2 2 0 4  r 。

3.解：  dyxydxdxdyyxM x D0 1 0 ),( 8 1 十．证明题（本题十．证明题（本题 6 6 分分）） 设二元函数),(),(yxyxf，在),( 00 yx点的某一邻域内均具有一阶连续偏导数， 且0),( 00 yx y .给出),(yxfz 在条件0),(yx下取得极值的必要条件， 并证 明你的结论 答案： 必要条件为：         0),( 0),(),( 0),(),( 00 000 000 0 0 yx yxyxf yxyxf yy xx    证明：假设所求函数在),( 00 yx取得所求极值，首先有0),( 00 yx1） 由条件),(),,(yxyxf，在),( 00 yx点的某一邻域内均具有一阶连续偏导数，且 0),( 00 yx y 及隐函数存在定理知，方程0),(yx确定一个连续且有连续导数 的函数)(xy，则此题相当于求一元函数)](,[xxfz在 0 xx 取得极值的必 要条件由一元可导函数取得极值的必要条件知道： 0)(),( 00 0, 000  xx yx xx dx dy yxfyxf dx dz 由隐函数求导公式： ),( ),( 00 00 0 yx yx dx dy y x xx     代入上式，得 0 ),( ),( ),(),( 00 00 0000  yx yx yxfyxf y x yx   （2） （1） 、 （2）两式即为所求必要条件。

设, ),( ),( 00 00    yx yxf y y 上述必要条件就变为：         0),( 0),(),( 0),(),( 00 000 000 0 0 yx yxyxf yxyxf yy xx    。