考研数学概率论第二讲补充.ppt

概率论与数理统计第二讲补充内容Ø本讲主要问题一、二维随机变量二、边缘分布三、条件分布四、相互独立的随机变量1. 二维随机变量的概念一、二维随机变量实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.说明 定义 设 E 是一个随机试验, 它的 样本空间是 S={e}, 设 X=X(e) 和Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量. 由它们构成的一 个向量 (X, Y) , 叫做二维随机变量 如图SeX(e)Y(e)注意事项三、二维随机变量2. 二维离散型随机变量,...2 , 1,),,(=jiyxji定义 若二维随机变量 ( X, Y ) 所有可能取 到的不相同的数偶 是有限对或无限 可列对时, 则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.联合分布律:其分布律表:性质1有性质2例答案:例 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数 中等可能地取值, 另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值.试求 ( X,Y ) 的 分布律.答案: 由题意知, {X=i, Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4, 且是 等可能的; 然后 j 取不大于 i 的正整数. 由乘法公式求得( X,Y ) 的分布律.练习袋中有2只黑球、2只白球、3只红球, 在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率答案: (1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能取的不同值为 0,1,2. (X,Y)的分布律为001/21204/212/711/212/71/70210X Y(2)三、二维随机变量3. 二维连续型随机变量定义 设(X,Y)是二维随机变量, 如果存在 定义在平面上的函数f(x, y), 满足条件则称(X, Y)是连续型随机变量, 而f(x, y)称为二维随机 变量(X,Y)的概率密度函数或称为随机变量X和Y的联合概率密度函数.表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.说明答案:例答案:三、二维随机变量4. 二维随机变量的分布函数 定义几何解释(如图)说明(1)离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函 数归纳为(2)连续型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为例答案:1. 离散型随机变量的边缘分布律 二、边缘分布例1 已知下列分布律求其边缘分布律.答案:2. 连续型随机变量的边缘分布 四、边缘分布边缘分布函数的定义例3 设(X,Y)的概率密度为其中区域G如下图所示, 求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度答案:-1 0 1P{X=u }3/16 3/16 3/8 1/16 1/16 1/8P{Y=v}1/4 1/4 1/23/41/41-11-1 0 1P{M=u }-110 1/4 2/4 1/4 0 03/4 1/4P{N=v}1/4 1/4 1/2 1这两个二 维随机变 量的分布 律是不相 同的，但 是却具有 相同的边 缘分布.联合分布边缘分布1. 离散型随机变量的条件分布律 三、条件分布为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律.定义 设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, 对 于固定的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称对于固定的 i , 若P{X= xi }>0, 则称为在X= xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律.条件分布律具有分布律的以下特性：(1) P{ X= xi |Y= yj }0;(2)例已知随机变量(X,Y)的分布律为1.0000.0130.0320.0450.910P{X=i}0.0200.0010.0040.0050.01020.0800.0020.0080.0100.06010.9000.0100.0200.0300.8400P{Y=j}3210求(1)在X=1条件下Y的条件分布律;(2)在Y=0条件下X 的条件分布律.答案:五、条件分布2. 连续型随机变量的条件分布 条件概率密度的定义为在条件Y= y下的X 的条件概率密度.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y), (X,Y) 关于Y 的边缘概率密度为fY(y), 若对固定的y, fY(y)>0, 则称记做fX|Y(x|y).即同理在条件X=x 下的Y 的条 件概率密度条件分布函数的定义称为在条件Y= y下X的条件分布函数. 记做 P{ X x |Y= y }, 或FX|Y(x|y).即同理在条件X= x下Y 的条件分布函数为思考答案:练习答案:又知边缘概率密度为四、相互独立的随机变量定义 设X,Y是两个随机变量, 若对于 任意的a,b (a