基础物理学刑秀文总习题第1,2章答案完美版.pdf

總習題答案習題解答之目的，是為了幫助諸位同學更有效率的思考，更快速的學習，而不是為了你抄襲作業方便．希望各位同學參考本解答之前，認真閱讀原題，獨立思考！經此過程之後，再看答案，會有更大的收穫！祝大家學習愉快！北理工珠海學院 2012 Spring郉 秀 文創造第一章質點力學運動學1.1 一個物體沿着直線運動，其加速度a = 4 + 3t (SI)，若x0= 5, v0= 0，計算該 物體在t = 10 s時的速度和坐標． 解答： 任意時刻的速度v(t) = v0+ˆt0adt =ˆt0(4 + 3t)dt = (4t + 1.5t2)????t0= 4t + 1.5t2將t = 10代⼊得v(10) = 190 m/s任意時刻的座標 x(t) = x0+ˆt0v(t)dt = 5 + 2t2+ 0.5t3將t = 10代⼊得x(10) = 705 m1.2 質點從坐標原點開始沿着x軸運動，其速度為v(t) = 4t−πsinπt (SI)，計算該物 體在t = 10 s時的加速度和坐標．解答： 加速度 a(10) =dv dt???? t=10= 4 − π2cosπt???? t=10= 4 − π2任意時刻的座標x(t) = x0+ˆt0v(t)dt =ˆt0(4t − πsinπt)dt = (2t2+ cosπt)????t0= 2t2+ cosπt − 1將t = 10代⼊得x(10) = 200 m1.3 如下圖所示，在河堤上安裝一個高於水面h的定滑輪，用繩子通過滑輪將水面上 的船拉向岸邊，收繩的速率v0均勻不變．當船到河堤的水平距離為s時，船速vs多大？(提示：船速是距離s縮短的快慢−ds/dt，收繩的速率v0是繩子縮短的快慢)．總習題1.3圖解答： 令繩⼦的⻑度為l．由於繩⼦在縮短，所以v0= −dl/dt．根據幾何關繫有l2= s2+ h2其中l, s都隨着時間t變化，⽽h是常量．等式兩邊對時間t求導數，得2ldl dt= 2sds dt+ 0即 vs≡ −ds dt= −l sdl dt=√ s2+ h2 sv01根據 部分學生的強烈要求，我 們將完整的答案發布出來，供 大家複習。

後面幾部分的完整 答案會陸續釋出 望各位同學用完後銷毀，不要 傳給下一屆同學，以免抄襲作 業，影響弟弟妹妹們的學業！ 切記切記！郉 秀 文製造《基礎物理學》 總習題 答案第1章 質點力學1.4 一個質點從靜止出發，沿半徑R = 1.5 m的圓周運動，其角速度ω = 2t．當 at= an時，計算質點所走過的路程． 解答： 由at= an可知 Rdω dt= ω2R將已知數據R, ω代⼊得1.5 × 2 = 4t2× 1.5 ⇒ t = 0.707質點轉過的⾓度 Δθ =ˆ0.7070ωdt = t2????0.7070= 0.5路程l = RΔθ = 0.75 m或者 ：質點的線速度v = Rω = 3t，路程l =ˆ0.7070vdt = 1.5t2????0.7070= 0.75 m1.5 質點在xy平面內運動，運動方程為r = 2ti − t2j (SI)．計算：(1) 軌跡方程；(2) t = 1 s時的v，a，at以及an；(3) t = 1 s時質點所在位置的軌道曲率半徑． 解答： (1) x = 2t, y = t2，軌跡x2= 4y (2) v = dr/dt = 2i − 2tj，v1= 2i − 2ja = dv/dt = −2j，a1= −2j at是a在速度v⽅向的投影．若θ是速度與加速度的夾⾓，則at= acosθ =a·v v=4t√4 + 4t2, at1=√2an有兩種算法 an= asinθ =|a×v| v=4√4 + 4t2, an1=√2或者an=√ a2− a2t=4√4 + 4t2, an1=√2(3)v21 ρ1= an1,ρ1=v21 an1=8√2= 4√21.6 快艇在速度達到v0時關閉發動機，受到阻力而減速，其減速度大小與速度的平 方成正比，即a = −kv2．證明它在水面上再行駛距離x時的速度為v = v0e−kx． 解答：dv dt= −kv2⇒dv dxdx dt=dv dxv = −kv2⇒dv dx= −kv ⇒dv v= −kdx ⇒ˆvv0dv v= −ˆx0kdx⇒ v = v0e−kx2郉 秀 文製造《基礎物理學》 總習題 答案第1章 質點力學1.7 某質點的運動規律為x = Acosωt, y = Bsinωt，其中A, B, ω都是常量．證明 r×v是常矢量． 解答：r = ix + jy = iAcosωt + jBsinωtv =dx dti +dy dtj = −iωAsinωt + jωBcosωtr×v = Acosωt · ωBcosωti×j − Bsinωt · ωAsinωtj×ir×v = ωAB(cos2ωt + sin2ωt)i×j = ωABk牛頓定律1.8 粗糙的水平路面上放置質量m的重物，摩擦係數μ．用大小恆定的力F拽拉，拉力與水平方向的夾角θ可以變化，問θ多大時重物獲得的加速度最大？ 解答： 設地⾯向上的⽀持⼒⼤⼩為N．在垂直⽅向Fsinθ + N = mg在⽔平⽅向Fcosθ − μN = ma上述⼆式整理得ma = Fcosθ − μmg + μFsinθ要使得加速度a最⼤，就是要求上式右側取得極⼤値．根據微積分中的極値條件， d dθ(Fcosθ − μmg + μFsinθ) = 0求解得θ = arctanμ1.9 小球在半徑R的光滑半球形碗內作勻速圓周運動，其角速度ω，軌道平面水平． 問軌道平面至碗底的高度多大？ 解答： 碗對球的⽀持⼒指向碗⼼，設其⼤⼩為N．設⼩球與碗⼼的連線與垂直⽅向夾⾓為θ．在垂直⽅向Ncosθ = mg在⽔平⽅向，⼩球有向⼼加速度Nsinθ = man= mω2(Rsinθ)由上述⼆式計算得cosθ = g/(ω2R),h = R(1 − cosθ) =ω2R − g ω2R1.10 質量為m的子彈以v0的初速度水平射入沙土牆壁中，進入牆壁後，它受到與速 度成正比的水平摩擦阻力f = −kv．(1)計算子彈的速度隨時間變化的函數關係；(2)計算子彈射入的最大深度．3郉 秀 文製造《基礎物理學》 總習題 答案第1章 質點力學解答： (1)由f = ma得 −kv = mdv dt⇒dv v= −k mdt積分得lnv??v v0= −k mt ⇒ v = v0e−k mt(2) xm=ˆ∞0vdt =m kv0ˆ∞0e−k mtd[ktm] =mv0 k最⼤深度也可以這樣計算 ：將−kv = mdv dt兩邊對時間積分−kˆ∞0vdt = mˆ∞0dv dtdt = mˆ0v0dv上式中速度的積分就是最⼤深度´∞ 0vdt = xm，−kxm= −mv0⇒ xm=mv0 k1.11 以初速度v0豎直上拋一個物體，除重力外，還受到空氣阻力f = −kv，計算上 升到最高點的時刻t′以及上升的最大高度H．解答： 以垂直向上為正⽅向，由f = ma得−kv − mg = mdv dt為了使⽤分離變量法(⾒教材附錄Ap3.1)，上式兩邊同除以k，可以將其簡化為m kdv v − mg/k= −dt為使⽤常數變易法或特解法(⾒教材附錄Ap3.2)，可以化為標準形式dv dt+k mv = −g我們⽤特解法來做．很容易求解⿑次⽅程 dv dt+k mv = 0的通解為v0(t) = Ce−k mt其次，尋找⼀個特解．顯然，若令特解v∗是⼀個常數s，那麼代⼊原⽅程得 k ms = −g,s = −mg/k所以原⽅程的通解為v(t) = Ce−k mt−mgk 將初始條件v0代⼊上式得C =( v0+mg k)故原⽅程的通解為v(t) =( v0+mg k) e−k mt−mgk4郉 秀 文製造《基礎物理學》 總習題 答案第1章 質點力學令v(t) = 0，可得出此刻的時間t′=m klnv0+ mg/k mg/k為了計算最⼤⾼度，我們將原⽅程兩邊對時間積分 ˆt′0(−kv − mg)dt = mˆt′0dv dtdt−kˆt′0vdt − mgt′= mˆ0v0dv−kH − mgt′= −mv0H =mv0 k−m2g k2lnv0+ mg/k mg/k動量1.12 超高壓水切割又稱水刀和水射流，它是將普通的水經過多級增壓後所產生的高 壓水流，再通過一個極細的紅寶石噴嘴以近千米每秒的速度噴射切割．假設噴嘴噴出的水流速率水從高壓泵中以800 m/s噴出，垂直沖擊到某固體表面後速度降為零． 固體表面受到水的壓強有多大？已知水的密度ρ = 1000 kg/m3． 解答： 設⽔流截⾯積為A，在dt時間內，⼊射到固體表⾯的⽔流⻑度為vdt，其質 量dm = ρAvdt，動量為vdm = ρAv2dt．⽔流⼊射到表⾯後，動量變為零．在此過程中固體表⾯對於⽔流的衝量為Fdt．根據動量定理ρAv2dt = Fdt壓強P = F/A = ρv2= 6.4 × 108Pa1.13 水平面上的一條水管有一個直角拐彎．已知管中的水流平均速度為2.0 m/s，水 管橫截面積100 cm2，計算拐彎處受力的大小． 解答： 設⽔流截⾯積為A，在dt時間內，有質量dm = ρAvdt的⽔從管道的⼀側流 ⼊並從另⼀側流出．由於流⼊流出的⽔流動量⼤⼩相等⽽⽅向垂直，故在此過程中動量變化量的⼤⼩為√2vdm．根據動量定理√2vdm = Fdt,F =√2ρAv2= 56.57 N解法⼆ ：在⽔管上建⽴直⾓坐標系，⽔流從y軸流⼊，從x正⽅向流出．設管中 的⽔流的總⻑度為L，某時刻x⽅向流動的⽔⻑度為x，y⽅向流動的⽔⻑度為L−x．則⽔流的總動量為p = ρAxvi + ρA(L − x)(−j) = −ρALj + ρAxv(i − j)在上式中，只有x是變化的，且dx/dt = v，根據⽜頓第⼆定律F =dp dt= ρAdx dtv(i − j) = ρAv2(i − j)5郉 秀 文製造《基礎物理學》 總習題 答案第1章 質點力學這就是⽔管對⽔流的作⽤⼒，F = ρAv2|i − j| =√2ρAv21.14 質量為M的砲彈以速率v0仰角θ射出．當砲彈升至最高點時，水平向後射出質 量為m的碎片，二者的相對速率為u．因為碎片的射出，砲彈射程增加多少？忽略空 氣阻力． 解答： 在爆炸的瞬間，⽔平動量守恆．炮彈爆炸前，⽔平速度為v0cosθ，設爆炸後炮彈的相對於地⾯的速度為v，則碎⽚相對於地⾯向前運動的速度為v − u，Mv0cosθ = m(v − u) + (M − m)v整理得炮彈⽔平速度增⼤了Δv = (v − v0cosθ) = mu/M炮彈⽔平速度的變化並不影響垂直⽅向的運動．炮彈上升到最⾼點花費的時間和從最⾼點下降的時間相同，均為T = v0sinθ/g⽔平射程增加Δv · T =muv0sinθ Mg1.15 一條質量m1= 100 kg長度l = 3 m的小船停在水面上，質量m2= 50 kg的人 從船頭走到船尾．在此過程中小船的位移多大？假定水的阻力很小． 解答： 解法⼀ ：⽔平動量守恆．只考慮動量⼤⼩，有m1v1= m2v2,m1ˆt0v1dt = m2ˆt0v2dt速率的積分就是路程，所以m1l1= m2l2其中⼈相對於地⾯前⾏的路程l1與船相對於地⾯後退的路程l2之和就是船⻑ll1+ l2= l聯⽴上述兩式得l1=m2l m1+ m2= 1 m解法⼆ ：以⼈前進的⽅向為正⽅向．⽔平動量守恆，有m1v1+ m2v2= 0,m1v1+ m2(v2− v1) + m2v1= 0其中(v2− v1)是⼈相對於船的速度，它的積分就是船⻑lm1l1+ m2l + m2l1= 0l1= −m2l m1+ m2= −1 m這裡的負號表⽰船的位移與⼈的位移⽅向相反．6郉 秀 文製造《基礎物理學》 總習題 答案第1章 質點力學能量1.16 一維空間的保守力場F = 1 − 2x，規定Ep(x = 0.5) = 0，。