（北京专用集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质）高一数学期中模拟卷（全解全析）.docx

2024-2025学年高一上学期期中模拟卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数及其性质5．难度系数：0.75第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（    ）A．游戏中会变身的妖怪 B．游戏中长的高的妖怪C．游戏中能力强的妖怪 D．游戏中击败后给奖励多的妖怪【答案】A【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确；对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误.故选：A.2．设全集，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，，而，所以.故选：C3．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，，A不是；对于B，当时，由，得，B不是；对于C，，可能有，如，C不是；对于D，由，得，则；若，则，D是.故选：D4．下列函数中为偶函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是；对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是.故选：C5．若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ）A． B．0 C．1 D．3【答案】A【详解】因为，即，又因为，当且仅当时，等号成立，若，，即，所以实数a可取的最小整数值是.故选：A.6．已知，当时，取得最小值为b，则（    ）A． B．2 C．3 D．8【答案】C【详解】因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故，.故选：C7．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，则.又，所以.故选：C8．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【详解】由题意，，则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.故选：A.9．已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，则在上也是增函数，因为不等式对任意实数恒成立所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，当时，不恒成立，当时，可得，解可得.即的取值范围是，故选：A10．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，当时，，即的值域为，若，则，即的值域为，而，符合要求；若，则由一次函数的性质可得，则有，解得，又，故；若，则由一次函数的性质可得，则有，解得，又，故；综上所述，.故选：B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数的定义域为 ．【答案】【详解】的定义域满足且，解得且.故答案为：12．已知方程的两个根为和，则 .【答案】14【详解】方程有实根，则，所以.故答案为：1413．若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .【答案】【详解】根据题意可得“，使”是假命题等价于“，”是真命题，因此可得，解得；即可得实数的取值范围为1,+∞.故答案为：1,+∞14．已知函数若，则实数 ；函数的值域为 .【答案】 【详解】当时，，解得；当时，，解得（舍去），所以；当时，；当时，，所以函数的值域为.故答案为：；.15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．①；②对于任意两个不同的正数，都有恒成立；③对于任意两个不同的实数，都有．【答案】（答案不唯一）【详解】当时，对于①，，故满足①；对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立，得函数在0,+∞上单调递增，而函数在0,+∞上单调递增，故满足②；对于③，任取，则，因为，所以，即，所以，故满足③.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题：本题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸16．（13分）已知集合，.(1)当时，求和；(2)若，求实数的取值范围.【详解】（1）时，，或，（3分）；（6分）（2），当时，，解得，（7分）当时，，（9分）解得，（12分）故实数的取值范围是.（13分）17．（14分）已知二次函数.(1)若存在使成立，求k的取值范围；(2)当时，求在区间上的最小值.【详解】（1）若存在使成立，则，（4分）解得或，（6分）所以k的取值范围是；（7分）（2）当时，，为对称轴是开口向上的抛物线，因为，所以，（9分）当即时，；（10分）当即时，；（11分）当即时，；（12分）综上所述，当时，；当时，；当时，.（14分）18．（13分）已知函数．(1)判断并证明的奇偶性；(2)证明在上是增函数；(3)求在上的最大值及最小值．【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数，对任意的，，所以函数为奇函数.（3分）（2）对区间上的任意两个数，且，则，（5分）由，则，，，（7分）从而，即，所以函数在区间上为增函数.（9分）（3）由（2）知，函数在上单调递增，，，所以函数在上的最大值、最小值分别为.（14分）19．（15分）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。

在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时.研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）求函数的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.【详解】（1）由题意，当时，v(x)=100，当时，设，则（5分）解得：，∴（8分）（2）由题意，（11分）当时，的最大值为（12分）当时，，（13分）的最大值为∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.（15分）20．（15分）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，有．求证：(1)是奇函数；(2)．其中.【详解】（1）令，代入，得到．令，得，即．∴在上是奇函数．（5分）（2），（8分）∴．（12分），，．故．（15分）21．（15分）设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合.(1)设，若具有性质，写出一个及相应的；(2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由.【详解】（1），；，；，；，；，；，.（6分）（2）假设存在和均具有性质，且，则，（9分）因为与同奇同偶，所以与同奇同偶，（12分）又因为为奇数，为偶数，这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立.（14分）综上所述：不存在具有性质的和，满足.（15分）。