等角对等边..ppt

等腰三角形的判定 --等角对等边 • 学习目标： 1．探索等腰三角形判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简 单的证明． • 学习重点： 理解和运用等腰三角形的判定定理. • 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它 们所对的边有什么关系？ 即：若在⊿ABC中,∠B=∠C,则AB 与AC有什么关系? 请用数学符号表示出这句话 AB=AC 猜想与归纳（证明方法一） • 已知⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，求证：AB=AC 证明 ： 作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90 在⊿ABD和⊿ACD中， ⊿ABD≌ ⊿ACD（AAS） ∠ABC=∠ACB ∠ADB=∠ADC=90 AD= AD ∵ ∴ AB=AC ∴ D 思考：还有其他证法吗？ 猜想与归纳（证明方法二） • 已知⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，求证：AB=AC 证明 ： 作∠BAC的角平分线AD，则∠BAD=∠CAD 在⊿ABD和⊿ACD中， ⊿ABD≌ ⊿ACD（AAS） ∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠CAD AD= AD ∵ ∴ AB=AC ∴ D 思考：能做BC的中线加以证明吗？ 等腰三角形的判定方法： • 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 在⊿ABC中， ∵∠ABC=∠ACB ∴AB=AC(等角对等边) 推理形式如下： 例题分析 • 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一 边，那么这个三角形是等腰三角形。

已知：∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC，（如图） ，求证：AB=AC 证明：∵AD//BC ∴∠1=∠B ∴∠2=∠C 又已知∠1=∠2 ∴∠B=∠C AB=AC （_______________________) （ _____________________________) （____________________) 两直线平行,内错角相等 等角对等边 两直线平行,同位角相等 练习 如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证： OC=OD 证明： ∵ OA=OB ∴∠OAB=∠OBA（等边对等角） 又∵ AB∥DC ∴∠OCD=∠OAB ∠ODC =∠OBA(两直线平行，内错角相等) ∴∠OCD=∠ODC（等量代换） ∴OC=OD（等角对等边 ） 例题解析 上午八时，一条船从海岛A出发，以15海里的速度向正北航 行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得 ∠NAC=420，∠NBC=840，求从海岛B到灯塔C的距离 A B C N 解： ∵ ∠NBC=∠A+∠C （三角形的一个外角等于 不相邻的两个内角的和） ∴∠C= 840－420=420 ∴BA=BC（等角对等边） 又∵ AB=15（10－8）=30 ∴BC＝BA＝30（海里） 练习 • 如图，∠A=360，∠DBC=360，∠C=720，分别计算 ∠1、 ∠2的度数。

解： 由∠A=360，∠C=720得： ∠ABC=720 在⊿ABC中 ∵ ∠DBC=360， ∠1= ∠A+ ∠2 =360+360=720 ∴∠2=360 请指出图中所有的等腰三角形 如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时18海里的速度向正北 （AN方向）航行，2时后到达B处测得C在A的北偏西40方向 ，并在B的北偏西80方向，求B处到灯塔C的距离 A B C N 解：由已知，NBC=80，A=40 ∵  NB C=A+C （三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和 C=NBC–A=80–40=40 A=C BA=BC （在一个三角形中，等边对等角） 又∵BA=182=36海里 BC=36（海里） 答：B处到灯塔C的距离是36海里 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｏ Ｄ 150 ⌒ Ｃ a ＥＦ Ｈ 1、如果有个三角形的两个内角为80和50，则这是一个_____三角形 2、如果一个三角形有两个内角等于60，那么这是一个______三角形。

3、底角是顶角一半的等腰三角形是________三角形 4、如果一个三角形三个外角的比是3：3：2，则这是一个 （ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5、如图，线段OD的一个端点在直线AB上，以OD为一边画等腰三角形，并 且使另一个顶点也在AB上，则这样的三角形有 （ ） A.一个 B.2个 C.3个 D.4个 D O AB 等腰 等边 等腰直角 D D 随堂练习 • 如图，⊿ABC中，BC=BA，∠A=600,BD是AC边的中线，延长 BC到E，使CE=CD，求证：DE=DB 证明：∵ BA=BC ∴∠BCA=∠A=600(等边对等角) ∵ CE=CD ∴∠E=∠CDE=300(三角形外角性质 ) ∵ BD是AC边的中线 ∴∠DBC=300(等腰三角形的性质 ) ∴DE=DB（等角对等边） 若DB是AC边上的高，上述结论仍成立 练习：如图，把一张矩形的纸沿对 角线折叠，重合部分是一个等腰 三角形吗？为什么？ A BC E D C′ 答： 重合部分是一个等腰三角形。

∵由折叠可知∠C′=∠A， ∠C′ED= ∠AEB（对顶角），由折叠得 C′D=AB， ∴⊿EAB ≌⊿EC′D （AAS） ∴EB=ED ∴ ⊿BED是等腰三角形，即：重合部分是一个等腰三角形 法二：可以证∠ EBD= ∠ EDB 法一：证⊿EC′D≌⊿EAB ∵由折叠可知∠EBD=∠DBC,且AD∥BC ∴ ∠DBC= ∠ EDB ∴ ∠EBD= ∠ EDB ∴EB=ED(等角对等边) ∴ ⊿BED是等腰三角形，即：重合部分是一个等腰三角形 C AB O C A EF O B 等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O, 过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E. 则: 3. 若AC=10,则△CEF的周长为多少 ? 2. AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？ 1. 图中有几个等腰三角形? AF+ EB=FE C A EF O B ㈠ A B C F EO （二） 如图（二）当AC=12,BC=8.求△CFE的周长? 解:因为OA平分∠CAB. 所以∠FAO=∠OAB. 又因为EF∥AB. 所以∠FOA=∠OAB. 所以∠FAO=∠FOA 即:AF=OF 所以AC=AF+FC=OF+FC. 同理可得:BC=BE+EC=OE+EC. 所以△CFE的周长: =OF+FC+OE+EC =AC+BC=12+8=20 问题一： 思考拓展 • 1、如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点 O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE 证明：∵ DE//BC ∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠DBO=∠DOB=∠OBC,∠ECO=∠EOC=∠OCB ∴BD=DO，CE=OE ∴BD+EC=DO+OE=DE （等角对等边） O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点 ，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点， 若BC＝10cm，那么△ODE的周长为 。

ED O A B C • 这节课你都学到了些什么？ 当堂反馈 • 全优课堂：第44页第8题。