数学分析_各校考研试题和答案.doc

20XX南开大学数学分析试题答案1.2.,=3.即证明,即证设,,,,证完4.===5.设P=,Q=,,积分与路径无关,则6.,又当时,收敛,当时,级数发散,原题得证7.由拉格朗日定理,,其中,原题得证8.〔1应用数学归纳法,当时命题成立,若当时命题也成立,则当时,,由归纳假设连续〔2〔3由单调递减趋于,与都连续,由地尼定理,该收敛为一致收敛9.<1>证明：取,代入式中得,即,所以函数单调递增有下界,从而存在右极限,则；,由题设可得,即从而,所以导函数递增<2>参考实变函数的有关教材20XX南开大学数学分析试题答案2.,其中由 求出3.4.在上单调一致趋于0,则在上一致收敛,又在上连续,则在上连续5.由泰勒公式,则,后者收敛,则原级数收敛6.由拉格朗日中值定理,后者收敛,由魏尔特拉斯定理,原级数一致收敛由一致收敛,则可以逐项求导,也一致收敛且连续,故连续可导7.反证：设存在有,不妨设,由连续函数的局部保号性,知道存在一个邻域当时,则存在一个圆周与已知矛盾8.当时,时,,综上,若对任意的有,则在时,不存在,矛盾设当时,当时,两边对积分即可6.,,由在上有定义,则在上有界,则可以得到在上连续。

则,则 则单调递增有下界,存在右极限,存在,同理存在,由极限的保不等式性可得20XX中国科学院数学研究院数学分析试题答案1. 〔1当时,当时,当时,当时,〔2当时,=〔3当时,当时,当时,当时,2. 当时,,从而连续；当时,,存在；当时,,3.即证：,,,当时,设,,,所以,当时,设,,,所以,4.5.假设存在常数M,,积分矛盾6.作代换===7.椭球面的切向量为,切点为和8.当时,相加：令,所以9由含参量积分的性质,科院20XX数学分析试题参考解答1求a,b使下列函数在x=0处可导: 解：由于函数在x=0处可导,从而连续,由得到b=1;又由得到a=0.即得2 证明: 用反证法 由知,均为正项级数假设级数收敛,则,于是有,从而由正项级数的比较判别法知级数收敛,矛盾,从而得证3 解：从而即得解〔利用余元公式、换元、函数更为简单4 证明：知,从而令有 从而得证5证明: 6 证明: 我们先来证明一个不等式,一般的称为Cauchy---Schwarz不等式,即定理17 证明：8 设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S,还令,则.证明：由对称性知9 解：为证明=I,我们先来证明一个定理：定理2 设在|x|,有北京大学20051设,试求和.解:当然此上极限可以令.此下极限当然可以令1. <1>设在开区间可微,且在有界。

证明在一致连续.证明:由存在.这显然就是<2> 设在开区间可微且一致连续,试问在是否一定有界〔若肯定回答,请证明；若否定回答,举例说明证明:否定回答.闭区间上连续函数一致连续.所以显然此而3．设. <1>求的麦克劳林展开式<2>求解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有. 又由于 比较系数有：,接下来,若中 ,此时令 有 同理可得：, 综合得：4．试作出定义在中的一个函数,使得它在原点处同时满足以下三个条件： 〔1的两个偏导数都存在；〔2任何方向极限都存在；〔3原点不连续 解： 显然这个函数在 的时候,有偏导数存在 ,而对于的时候,有 ,此式在原点也成立 对于任意方向极限,有显然沿任意方向趋于原点 此函数的方向极限都存在最后,因为沿不同方向趋向原点不妨设有不同的极限且其都不为0所以该函数在原点不连续5．计算.其中是球面与平面的交线 解：首先,曲线是球面与平面的交线因为平面过原点,球面中心为原点 所以它们的交线是该球面上的极大圆再由坐标的对称性易知有 因此有 ===6．设函数列满足下列条件：〔1,在连续且有〔 〔2点点收敛于上的连续函数证明：在上一致收敛于 证法1：首先,因为对任意。

且有,所以,对于任意,有 又因为在点连续所以可以找到,当 时有,以及 同时成立因此,当, 时,有 如此,令,所以有开区间族 覆盖了区间 而在闭区间上连续由Heine-Borel 定理,从开区间族中可以选出有限个, 使 由的选法可由相应与,当,且时,有 取,当时,且,有 成立所以在上一致收敛于 证毕 证法2：反证法.设存在某,对于任意,有一,使得．又有界,由Bolzano-Weierstrass定理,所以其必存在　　　　　收敛子列收敛于中某值．因为对任意且有,所以,当时,有．设某,由与连续性．存在一,当时　　　　　有同时成立．显然,又因为．所以存在值, ．　　　　　当时, 成立．最后,当时,有＜．这与假设矛盾．　　　　　所以在上,是一致收敛于．证毕．XX理工大学2005试题数学分析试题解答一、 计算题1、 求极限：解：2、求极限：解：3、证明区间〔0,1和〔0,+具有相同的势 证明：构造一一对应y=arctanx4、计算积分,其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域 解：5、计算第二类曲线积分：,方向为逆时针。

解：6、设a>0,b>0,证明： 证明：二、 设f为[a,b]上的有界可测函数,且证明：f在[a,b]上几乎处处为0证明：反证法,假设A={x|f≠0},那么mA>0三、 设函数f在开区间〔0,+内连续且有界,是讨论f在〔0,+内的一致连续性讨论：非一致连续,构造函数：四、 设,讨论函数的连续性和可微性解：1连续性：连续 2可微性：可微五、 设f在〔a,b内二次可微,求证：证明：六、 f在R上二次可导,,证明：f在R上恰有两个零点证明：七、 设函数f和g在[a,b]内可积,证明:对[a,b]内任意分割证明：八、 求级数：解：九、 讨论函数项级数在<0,1>和<1,+∞>的一致收敛性讨论：1） 01十、 计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所截部分的外侧解：十一、设f在[0,1]上单调增加,f<0>>=0,f<1><=1,证明： 证明：十二、设f在[0,+∞]上连续,绝对收敛,证明：证明：十三、设,证明： 当下极限时,级数收敛 当上极限时,级数发散 证明：〔1〔2XX大学20XX数学分析解答1.<20’>2.<20'>05XX大学8.<18分>设在上二次连续可微<其中>,且在处的梯度,Hesse矩阵Q=为正定矩阵.证明：⑴在处取到极小值；⑵若是Q的最大特征值,是Q对应于的特征向量,则从处沿着方向增长XX师范大学20XX研究生一〔每小题8分,共48分计算题1、 求极限 .解 原式 3分 5分 8分2、 求级数 的和.解 作,则 2分作,则因此 5分于是 ,原式 8分3、 求级数 的和. 解 因,故 2分为了求,作, 4分则 5分 6分因此,原式 8分4、求的值.解 原式 4分 8分5、 求极限 解 因的周期为, 2分故当为有理数时,存在正整数和整数使得,这时当时,,, 4分而当为无理数时,, 6分因此,原式 8分6、求极限 解 原式 4分 8分二〔14分已知实数列收敛于,且,用定义证明也收敛于.证记,,则,,使得, 3分因,故,使得, 8分令,则当时,有 14分三〔20分设和为二次可微函数,证明证, 5分 , 。