人教A版高中数学（选择性必修一）同步讲义第34讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（教师版）.doc

第09讲 圆锥曲线的方程（弦长问题）一、知识点归纳知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式（当且仅当时等号成立）二、题型精讲题型01求椭圆的弦长【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程；(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由得焦点，则椭圆的焦点为，因为椭圆离心率为，所以，解得，则，所以椭圆的方程为．（2）设，由得，，易得，则，，，因为，所以，解得，所以．  【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，由题可得，则．整理得，故曲线C的方程为．（2）（法一）设，则两式相减得，则 ， 因为线段MN的中点，所以，所以，故直线l的方程为，即，联立方程组，消去y整理得，，则，则.    （法二）易知直线斜率存在，设直线方程为，联立方程组，消去y整理得，，则 ,      又，可求得，即有，则.【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)求动点的轨迹方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，整理可得，因此，点的轨迹方程为.（2）解：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点，若点、，则，，此时，不合乎题意，若点、，同理可得，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，因为，即，所以，，即，由韦达定理可得，所以，，，解得，因此，.【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.【答案】(1)(2)中点坐标，弦长【详解】（1）因为椭圆C的焦点为和 ，长轴长为，所以椭圆的焦点在轴上，. 所以.所以椭圆C的标准方程.（2）设，，AB线段的中点为，由得，所以，  所以，，所以弦AB的中点坐标为， .题型02求椭圆的弦长的最值（范围）【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是 .【答案】【详解】①当直线斜率存在时，设直线方程为：联立，得，即，所以，所以，令，则原式，令，则原式，当时取得最大值，此时，.②当直线斜率不存在时，所以的最大值是.故填：.【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．(1)求C的方程；(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为C的离心率为，所以．因为C上的点到其焦点的最大距离为，所以，解得，．因为，所以，故C的方程为．（2）当l的斜率不存在时，可得．当时，可得，，则．当时，同理可得．当l的斜率存在时，设．因为l与圆相切，所以圆心到l的距离为，即．联立得．设，，则，．．令，则，当且仅当，即时，等号成立．因为，所以的最大值为．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.(1)求椭圆的的标准方程；(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.【答案】(1)(2)3【详解】（1）由题知，椭圆的离心率为，左顶点为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，，因为直线与椭圆交于，两点，由题可知，直线斜率为0时，，所以直线的斜率不为0，所以设直线，联立方程，得，所以，，所以，解得，此时恒成立，所以直线的方程为直线，直线过定点，此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为3.【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，圆的方程为，的取值范围是【详解】（1）由题意得：，故，双曲线渐的近线方程为，故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，因为，解得：，故，所以椭圆方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线为，联立与，得：，由得：，设，则，因为，所以，其中，整理得：，将代入中，解得：，又，解得：，综上：或，原点到直线的距离为，则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，该圆的半径即为，故圆的方程为，当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，与椭圆的两个交点为，或，，此时，满足要求，经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；，将代入上式，令，则，因为，则，所以，因为，所以，故当时，取得最大值，最大值为，又，当直线的斜率不存在时，此时，综上：的取值范围为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，由题意可得，解得，．所以，椭圆的方程为．（2）解：若直线与轴平行或重合，此时直线与圆相交，不合乎题意，设直线的方程为，由题意可得，即.联立消去得，即，．设、，则，．所以，．令，则，则，当且仅当时等号成立，此时，．故的最大值为．【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，， ，则，∴椭圆的标准方程：；（2）由题意可知：，设，则，∴，由，当时，，当时，，∴的取值范围；【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，所以椭圆的方程是.（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.设，连接OA，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.联立，消去得，设，．则， 从而，又，从而，所以.题型03根据椭圆的弦长求参数【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.【答案】(1)动点的轨迹的方程为；讨论过程见解析(2)或或或【详解】（1）设，因为，动点满足：， 分别为直线的斜率，所以，即，即动点的轨迹的方程为.讨论的形状与值的关系如下：当时，的形状为双曲线；当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；当时，的形状为圆；当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；（2）当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.由题意知，直线斜率存在，联立，则，，则，所以，所以，设到直线距离为，直线则，所以，平方得，代入上式得，则，平方得，即，所以，得，则，则，所以，此时成立，所以直线的方程为，即或或或.  【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题意可知，可得，， 所以，椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，因为直线与圆相切，且该圆的圆心为原点，半径为，  则，得，联立得，则，设、，则， 所以，，，因为的取值范围是，即，整理可得，又因为，所以，，解得，因此，的取值范围是.【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：，可得，，所以椭圆C的方程为：；（2）设直线的方程为，，，由，得，联立，得，恒成立，则，所以，，                                                    因为的取值范围为，则，解得，所以，，因为，则，所以，所以的取值范围为．【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：．(1)求椭圆C的离心率；(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）椭圆C：，，（2）由（1）可知：，设，，，可得，且，联立解得：，所以或或或（3）设直线l与椭圆的交点分别为,联立，整理得：，；所以弦长，解得: ，所以直线的方程：【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.。